Номер 14.4, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt{10 - 3x} = -x;$

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2;$

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x;$

4) $x - \sqrt{3x^2 - 11x - 20} = 5.$

1) $\sqrt{10 - 3x} = -x$

Для решения иррационального уравнения необходимо найти его область допустимых значений (ОДЗ), а затем возвести обе части в квадрат.

ОДЗ:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $10 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 10 \implies x \le \frac{10}{3}$.
2. Правая часть уравнения, которой равен арифметический квадратный корень, также должна быть неотрицательной: $-x \ge 0 \implies x \le 0$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; 0]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{10 - 3x})^2 = (-x)^2$
$10 - 3x = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (сумма корней -3, произведение -10, корни -5 и 2) или найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 0$):
Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условию ($-5 \le 0$).
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию ($2 > 0$), поэтому является посторонним.
Ответ: -5

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2$

Определим ОДЗ.
1. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $2x + 2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$.
2. Подкоренное выражение $2x^2 + 5x + 4$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого трехчлена: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$. Так как старший коэффициент ($a=2$) положителен, а дискриминант отрицателен, парабола $y=2x^2+5x+4$ целиком лежит выше оси Ox, то есть выражение $2x^2 + 5x + 4$ всегда положительно при любом $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \ge -1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x^2 + 5x + 4})^2 = (2x + 2)^2$
$2x^2 + 5x + 4 = 4x^2 + 8x + 4$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$4x^2 - 2x^2 + 8x - 5x + 4 - 4 = 0$
$2x^2 + 3x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(2x + 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$2x + 3 = 0 \implies x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 \ge -1$).
Корень $x_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию ($-1.5 < -1$), поэтому является посторонним.
Ответ: 0

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x$

Определим ОДЗ:
1. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
Общее ОДЗ: $x \in [-2; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x + 2})^2 = (1 - x)^2$
$x + 2 = 1 - 2x + x^2$
Перенесем все в одну сторону:
$x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-2; 1]$):
Оценим значение $\sqrt{13}$. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{13} < 4$.
Для $x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: $x_1 \approx \frac{3 - 3.6}{2} = -0.3$. Это значение входит в промежуток $[-2; 1]$.
Для $x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: $x_2 \approx \frac{3 + 3.6}{2} = 3.3$. Это значение не входит в промежуток $[-2; 1]$.
Следовательно, корень $x_2$ является посторонним.
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

4) $x - \sqrt{3x^2 - 11x - 20} = 5$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы изолировать радикал:
$x - 5 = \sqrt{3x^2 - 11x - 20}$

Определим ОДЗ.
1. Левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x^2 - 11x - 20 \ge 0$. Найдем корни трехчлена $3x^2 - 11x - 20=0$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.
$x_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{6}$, откуда $x_1 = \frac{11 - 19}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $3x^2 - 11x - 20 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}] \cup [5; \infty)$.
Совмещая оба условия ($x \ge 5$ и $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}] \cup [5; \infty)$), получаем ОДЗ: $x \ge 5$.

Возведем обе части уравнения $x - 5 = \sqrt{3x^2 - 11x - 20}$ в квадрат:
$(x - 5)^2 = 3x^2 - 11x - 20$
$x^2 - 10x + 25 = 3x^2 - 11x - 20$
Перенесем все в правую часть:
$2x^2 - x - 45 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 1 + 360 = 361 = 19^2$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm 19}{4}$
$x_1 = \frac{1 - 19}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$
$x_2 = \frac{1 + 19}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 5$):
Корень $x_1 = -4.5$ не удовлетворяет условию ($-4.5 < 5$), является посторонним.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 5$).
Ответ: 5