Номер 14.3, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2-x}=x$;

2) $\sqrt{x+1}=x-1$;

3) $\sqrt{3x-2}=x$;

4) $\sqrt{x^2-1}=3-2x$;

5) $x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$;

6) $x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$.

1) $\sqrt{2 - x} = x$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0, \\ 2 - x = x^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы: $x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Теперь проверим выполнение условия $x \ge 0$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Таким образом, решением исходного уравнения является только $x = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\sqrt{x + 1} = x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ x + 1 = (x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 1$.

Решим второе уравнение системы:

$x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Проверим выполнение условия $x \ge 1$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 1$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 1$.

Следовательно, решением является $x = 3$.

Ответ: $3$.

3) $\sqrt{3x - 2} = x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0, \\ 3x - 2 = x^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Проверим выполнение условия $x \ge 0$.

Оба корня, $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$, удовлетворяют этому условию.

Ответ: $1; 2$.

4) $\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - 2x \ge 0, \\ x^2 - 1 = (3 - 2x)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства: $3 \ge 2x \Rightarrow x \le 1.5$.

Решим второе уравнение:

$x^2 - 1 = 9 - 12x + 4x^2$

$3x^2 - 12x + 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 - 120 = 24$.

Корни уравнения: $x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$.

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$, $x_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le 1.5$.

Для $x_1 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$: так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $\frac{6+2}{3} < x_1 < \frac{6+3}{3}$, то есть $\frac{8}{3} < x_1 < 3$. Очевидно, $x_1 > 1.5$, значит, это посторонний корень.

Для $x_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$: так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $\frac{6-3}{3} < x_2 < \frac{6-2}{3}$, то есть $1 < x_2 < \frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} \approx 1.33 < 1.5$, этот корень удовлетворяет условию.

Также необходимо, чтобы подкоренное выражение $x^2 - 1$ было неотрицательным. Для $x_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3} > 1$, условие $x^2 - 1 \ge 0$ выполняется.

Ответ: $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$.

5) $x - \sqrt{2x^2 + x - 21} = 3$

Перенесем слагаемые, чтобы изолировать корень:

$\sqrt{2x^2 + x - 21} = x - 3$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ 2x^2 + x - 21 = (x - 3)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 3$.

Решим второе уравнение:

$2x^2 + x - 21 = x^2 - 6x + 9$

$x^2 + 7x - 30 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение $-30$.

Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -10$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 3$.

Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию $-10 \ge 3$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $3$.

6) $x + 2 + \sqrt{8 - 3x - x^2} = 0$

Изолируем корень:

$\sqrt{8 - 3x - x^2} = -x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} -x - 2 \ge 0, \\ 8 - 3x - x^2 = (-x - 2)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства: $-x \ge 2 \Rightarrow x \le -2$.

Решим второе уравнение:

$8 - 3x - x^2 = (x + 2)^2$

$8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4$

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{-7 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$.

$x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$, $x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le -2$.

Корень $x_1 = 0.5$ не удовлетворяет условию $0.5 \le -2$, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $-4 \le -2$.

Проверим также, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным для $x = -4$:

$8 - 3(-4) - (-4)^2 = 8 + 12 - 16 = 4 \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $-4$.