Номер 14.5, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.5. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(2x+3)(x-4)} = x-4;$

2) $\sqrt{(x-2)(2x-5)} + 2 = x;$

3) $(x+2)\sqrt{x^2-x-20} = 6x+12;$

4) $(x+1)\sqrt{x^2-5x+5} = x+1.$

1) $\sqrt{(2x + 3)(x - 4)} = x - 4$

Данное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае:

$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ (2x + 3)(x - 4) = (x - 4)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x \ge 4$.

Решим второе уравнение системы:

$(2x + 3)(x - 4) - (x - 4)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)((2x + 3) - (x - 4)) = 0$

$(x - 4)(2x + 3 - x + 4) = 0$

$(x - 4)(x + 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

Теперь проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 4$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < 4$. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 4$.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{(x - 2)(2x - 5) + 2} = x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ (x - 2)(2x - 5) + 2 = x^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение:

$2x^2 - 5x - 4x + 10 + 2 = x^2$

$2x^2 - 9x + 12 = x^2$

$x^2 - 9x + 12 = 0$

Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 81 - 48 = 33$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$.

Проверим оба корня на соответствие условию $x \ge 0$.

Корень $x_1 = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$ очевидно положителен.

Для корня $x_2 = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$ сравним $9$ и $\sqrt{33}$. Так как $9^2 = 81$ и $(\sqrt{33})^2 = 33$, то $81 > 33$, а значит $9 > \sqrt{33}$. Следовательно, $9 - \sqrt{33} > 0$, и корень $x_2$ также положителен.

Оба корня удовлетворяют условию системы.

Ответ: $\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем правую часть:

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x + 2)$

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x + 2 = 0 \implies x = -2$

2) $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \implies \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - x - 20 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Проверим корень $x = -2$. Он не входит в ОДЗ, так как $-4 < -2 < 5$. Следовательно, $x = -2$ — посторонний корень.

Решим второе уравнение: $\sqrt{x^2 - x - 20} = 6$. Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = 8$ и $x_4 = -7$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ.

Корень $x = 8$ принадлежит ОДЗ, так как $8 \ge 5$.

Корень $x = -7$ принадлежит ОДЗ, так как $-7 \le -4$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 8$.

4) $(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = x + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} - (x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$

2) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$

Найдем ОДЗ: $x^2 - 5x + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Проверим корень $x = -1$. Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$. Умножим на 2: $-2 \le 5 - \sqrt{5}$, что эквивалентно $\sqrt{5} \le 7$. Это верно, так как $5 \le 49$. Корень $x = -1$ входит в ОДЗ и является решением (при подстановке получаем $0=0$).

Решим второе уравнение: $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$. Возведем в квадрат:

$x^2 - 5x + 5 = 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ.

Для $x=1$: $1 \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \implies 2 \le 5 - \sqrt{5} \implies \sqrt{5} \le 3 \implies 5 \le 9$. Верно. Корень $x = 1$ входит в ОДЗ.

Для $x=4$: $4 \ge \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \implies 8 \ge 5 + \sqrt{5} \implies 3 \ge \sqrt{5} \implies 9 \ge 5$. Верно. Корень $x = 4$ входит в ОДЗ.

Все три найденных значения являются корнями уравнения.

Ответ: $-1; 1; 4$.