Номер 14.12, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.12. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{5x-1} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x-1}$;

3) $2\sqrt{3x-1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{x-9}$;

4) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$.

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3} = 2\sqrt{x}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$2x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/2$

$x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$

$x \ge 0$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x + 1) + 2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} + (x - 3) = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x - 2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

Так как $x \ge 3$, то $x+2$ всегда положительно. Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x + 2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{24 + 32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$

$x_2 = \frac{24 - 32}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 3$). Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -4/7$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $4$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 1}$.

Найдем ОДЗ:

$5x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1/5$

$3x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2/3$

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем один из корней в правую часть для удобства:

$\sqrt{5x - 1} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x - 1})^2 = (\sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2})^2$

$5x - 1 = (x - 1) + 2\sqrt{(x - 1)(3x - 2)} + (3x - 2)$

$5x - 1 = 4x - 3 + 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

$x + 2 = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

Так как $x \ge 1$, то $x+2$ всегда положительно. Снова возведем в квадрат:

$(x + 2)^2 = 4(3x^2 - 5x + 2)$

$x^2 + 4x + 4 = 12x^2 - 20x + 8$

$11x^2 - 24x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 4 = 576 - 176 = 400 = 20^2$.

$x_1 = \frac{24 + 20}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2$

$x_2 = \frac{24 - 20}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 1$). Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = 2/11$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $2$.

3)

Исходное уравнение: $2\sqrt{3x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 9}$.

Найдем ОДЗ:

$3x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1/3$

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

$x - 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 9$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 9$.

Перепишем уравнение: $2\sqrt{3x - 1} = \sqrt{x - 9} + \sqrt{x - 1}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{3x - 1})^2 = (\sqrt{x - 9} + \sqrt{x - 1})^2$

$4(3x - 1) = (x - 9) + 2\sqrt{(x - 9)(x - 1)} + (x - 1)$

$12x - 4 = 2x - 10 + 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

$10x + 6 = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

$5x + 3 = \sqrt{x^2 - 10x + 9}$

При $x \ge 9$ левая часть $5x+3$ положительна. Возведем в квадрат:

$(5x + 3)^2 = x^2 - 10x + 9$

$25x^2 + 30x + 9 = x^2 - 10x + 9$

$24x^2 + 40x = 0$

$8x(3x + 5) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5/3$.

Ни один из этих корней не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 9$).

Ответ: нет корней.

4)

Исходное уравнение: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}$.

Найдем ОДЗ:

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

$9 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 9$

$2x - 12 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $6 \le x \le 9$.

Также, поскольку правая часть неотрицательна, левая часть тоже должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x} \Rightarrow x+1 \ge 9-x \Rightarrow 2x \ge 8 \Rightarrow x \ge 4$. Это условие выполняется в найденной ОДЗ.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x})^2 = (\sqrt{2x - 12})^2$

$(x + 1) - 2\sqrt{(x + 1)(9 - x)} + (9 - x) = 2x - 12$

$10 - 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9} = 2x - 12$

$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

$11 - x = \sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

В нашей ОДЗ ($6 \le x \le 9$) левая часть $11-x$ положительна. Возводим в квадрат:

$(11 - x)^2 = -x^2 + 8x + 9$

$121 - 22x + x^2 = -x^2 + 8x + 9$

$2x^2 - 30x + 112 = 0$

Разделим на 2: $x^2 - 15x + 56 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = 8$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($6 \le x \le 9$).

Ответ: $7; 8$.