Номер 14.10, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.10. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3;$

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4;$

3) $\sqrt{3x-1} + \sqrt{x+3} = 2;$

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5.$

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$
$10-x \ge 0 \implies x \le 10$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [5; 10]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:
$(\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x})^2 = 3^2$
$(\sqrt{x-5})^2 + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + (\sqrt{10-x})^2 = 9$
$x-5 + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + 10-x = 9$
Приведем подобные слагаемые:
$5 + 2\sqrt{10x - x^2 - 50 + 5x} = 9$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9 - 5$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$
$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$

Снова возведем обе части в квадрат:
$-x^2 + 15x - 50 = 2^2$
$-x^2 + 15x - 50 = 4$
$-x^2 + 15x - 54 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$x^2 - 15x + 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 54. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $[5; 10]$.
$x_1 = 6$ принадлежит ОДЗ.
$x_2 = 9$ принадлежит ОДЗ.
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: 6; 9.

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4$

Найдем ОДЗ:
$x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 7$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1})^2 = 4^2$
$(x-7) + 2\sqrt{(x-7)(x-1)} + (x-1) = 16$
$2x - 8 + 2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 16$
Уединим радикал:
$2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 16 - 2x + 8$
$2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 24 - 2x$
$\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 12 - x$

Поскольку левая часть (арифметический корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $12 - x \ge 0$, что означает $x \le 12$.
С учетом ОДЗ, получаем ограничение на $x$: $7 \le x \le 12$.
Теперь возведем последнее уравнение в квадрат:
$x^2 - 8x + 7 = (12-x)^2$
$x^2 - 8x + 7 = 144 - 24x + x^2$
$-8x + 7 = 144 - 24x$
$24x - 8x = 144 - 7$
$16x = 137$
$x = \frac{137}{16}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $7 \le x \le 12$.
$\frac{137}{16} = 8 \frac{9}{16}$. Так как $7 \le 8 \frac{9}{16} \le 12$, корень подходит.

Ответ: $\frac{137}{16}$.

3) $\sqrt{3x-1} + \sqrt{x+3} = 2$

Найдем ОДЗ:
$3x-1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{3}$
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
ОДЗ: $x \ge \frac{1}{3}$.

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x-1} + \sqrt{x+3})^2 = 2^2$
$(3x-1) + 2\sqrt{(3x-1)(x+3)} + (x+3) = 4$
$4x + 2 + 2\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 4$
$2\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 2 - 4x$
$\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 1 - 2x$

Правая часть должна быть неотрицательной: $1 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}$.
С учетом ОДЗ, получаем $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
$3x^2 + 8x - 3 = (1-2x)^2$
$3x^2 + 8x - 3 = 1 - 4x + 4x^2$
$x^2 - 12x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(4) = 144 - 16 = 128$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}$

Получили два корня: $x_1 = 6 + 4\sqrt{2}$ и $x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$.
Проверим их соответствие условию $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.
$x_1 = 6 + 4\sqrt{2}$ очевидно больше $\frac{1}{2}$, значит, это посторонний корень.
Для $x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$, оценим его значение. $\sqrt{2} \approx 1.414$, тогда $x_2 \approx 6 - 4(1.414) = 6 - 5.656 = 0.344$.
Так как $\frac{1}{3} \approx 0.333$ и $\frac{1}{2} = 0.5$, то значение $0.344$ находится в интервале $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$. Следовательно, $x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$ является решением.

Ответ: $6 - 4\sqrt{2}$.

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5$

Найдем ОДЗ:
$13-4x \ge 0 \implies 4x \le 13 \implies x \le \frac{13}{4} = 3.25$
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
ОДЗ: $x \in [-3; \frac{13}{4}]$.

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3})^2 = 5^2$
$(13-4x) + 2\sqrt{(13-4x)(x+3)} + (x+3) = 25$
$-3x + 16 + 2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 25$
$2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 9 + 3x$

Правая часть должна быть неотрицательной: $9+3x \ge 0 \implies 3x \ge -9 \implies x \ge -3$. Это условие не сужает ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$4(-4x^2 + x + 39) = (9+3x)^2$
$-16x^2 + 4x + 156 = 81 + 54x + 9x^2$
$25x^2 + 50x - 75 = 0$
Разделим все уравнение на 25:
$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $[-3; \frac{13}{4}]$.
$x_1 = 1$ принадлежит ОДЗ.
$x_2 = -3$ принадлежит ОДЗ.
Подставим корни в исходное уравнение для проверки:
При $x=1$: $\sqrt{13-4(1)} + \sqrt{1+3} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$. Верно.
При $x=-3$: $\sqrt{13-4(-3)} + \sqrt{-3+3} = \sqrt{13+12} + \sqrt{0} = \sqrt{25}=5$. Верно.

Ответ: -3; 1.