Номер 14.9, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+5} - \sqrt{3x-5} = 2$;

2) $\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2$.

1) $ \sqrt{2x+5} - \sqrt{3x-5} = 2 $

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} 2x+5 \ge 0 \\ 3x-5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge -5 \\ 3x \ge 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x \ge \frac{5}{3} \end{cases} $

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x \ge \frac{5}{3} $.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения для удобства возведения в квадрат:

$ \sqrt{2x+5} = 2 + \sqrt{3x-5} $

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{2x+5})^2 = (2 + \sqrt{3x-5})^2 $

$ 2x+5 = 4 + 4\sqrt{3x-5} + (3x-5) $

Упростим полученное выражение:

$ 2x+5 = 3x - 1 + 4\sqrt{3x-5} $

Изолируем оставшийся радикал в одной части уравнения:

$ 4\sqrt{3x-5} = 2x+5 - (3x-1) $

$ 4\sqrt{3x-5} = 6 - x $

Левая часть уравнения ($4\sqrt{3x-5}$) всегда неотрицательна, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам дополнительное условие:

$ 6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6 $

С учетом ОДЗ, корень уравнения должен лежать в промежутке $ [\frac{5}{3}, 6] $.

Снова возведем обе части уравнения $ 4\sqrt{3x-5} = 6 - x $ в квадрат:

$ (4\sqrt{3x-5})^2 = (6-x)^2 $

$ 16(3x-5) = 36 - 12x + x^2 $

$ 48x - 80 = 36 - 12x + x^2 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ ax^2+bx+c=0 $:

$ x^2 - 12x - 48x + 36 + 80 = 0 $

$ x^2 - 60x + 116 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 116 = 3600 - 464 = 3136 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56 $

Находим корни:

$ x_1 = \frac{60 + 56}{2} = \frac{116}{2} = 58 $

$ x_2 = \frac{60 - 56}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

Проверим, соответствуют ли найденные корни условию $ x \in [\frac{5}{3}, 6] $.

Корень $ x_1 = 58 $ не удовлетворяет условию $ x \le 6 $, значит, это посторонний корень.

Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет условию $ \frac{5}{3} \le 2 \le 6 $.

Проверим найденный корень $ x=2 $ подстановкой в исходное уравнение:

$ \sqrt{2(2)+5} - \sqrt{3(2)-5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2 $

$ 2=2 $ (верно).

Ответ: $2$

2) $ \sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x+11 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -11 \\ 2x \ge -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge -0.5 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \ge -0.5 $.

Перенесем один из корней в правую часть:

$ \sqrt{x+11} = 2 + \sqrt{2x+1} $

Возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{x+11})^2 = (2 + \sqrt{2x+1})^2 $

$ x+11 = 4 + 4\sqrt{2x+1} + (2x+1) $

Упростим:

$ x+11 = 2x + 5 + 4\sqrt{2x+1} $

Изолируем корень:

$ 4\sqrt{2x+1} = x+11 - 2x - 5 $

$ 4\sqrt{2x+1} = 6 - x $

Правая часть должна быть неотрицательной, так как левая часть неотрицательна:

$ 6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6 $

С учетом ОДЗ, решение должно находиться в промежутке $ [-0.5, 6] $.

Снова возведем обе части в квадрат:

$ (4\sqrt{2x+1})^2 = (6-x)^2 $

$ 16(2x+1) = 36 - 12x + x^2 $

$ 32x + 16 = 36 - 12x + x^2 $

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$ x^2 - 44x + 20 = 0 $

Решим уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1936 - 80 = 1856 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{1856} = \sqrt{64 \cdot 29} = 8\sqrt{29} $

Найдем корни:

$ x = \frac{44 \pm 8\sqrt{29}}{2} = 22 \pm 4\sqrt{29} $

Получаем два корня: $ x_1 = 22 + 4\sqrt{29} $ и $ x_2 = 22 - 4\sqrt{29} $.

Проверим корни на соответствие условию $ x \in [-0.5, 6] $.

Оценим значение $ \sqrt{29} $: $ 5^2=25 $, $ 6^2=36 $, значит $ 5 < \sqrt{29} < 6 $.

Для $ x_1 = 22 + 4\sqrt{29} $: $ x_1 > 22 + 4 \cdot 5 = 42 $. Этот корень очевидно больше 6, поэтому он является посторонним.

Для $ x_2 = 22 - 4\sqrt{29} $: Проверим верхнюю границу: $ 22 - 4\sqrt{29} \le 6 \Leftrightarrow 16 \le 4\sqrt{29} \Leftrightarrow 4 \le \sqrt{29} $. Это верно, так как $ 16 \le 29 $. Проверим нижнюю границу: $ 22 - 4\sqrt{29} \ge -0.5 \Leftrightarrow 22.5 \ge 4\sqrt{29} \Leftrightarrow \frac{45}{8} \ge \sqrt{29} $. Возведем в квадрат: $ (\frac{45}{8})^2 = \frac{2025}{64} = 31.640625 $. Неравенство $ 31.640625 \ge 29 $ верно.

Следовательно, корень $ x_2 = 22 - 4\sqrt{29} $ удовлетворяет всем условиям и является решением уравнения.

Ответ: $22 - 4\sqrt{29}$