Номер 14.15, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.15. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6;$

2) $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 2.$

1) Решим уравнение $ \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 6 $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Выражения под внешними корнями также должны быть неотрицательными.
$x + 2\sqrt{x-1} \ge 0$ выполняется для всех $x \ge 1$, так как $x > 0$ и $\sqrt{x-1} \ge 0$.
$x - 2\sqrt{x-1} \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\sqrt{x-1}$. Так как обе части неотрицательны при $x \ge 1$, возводим в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1) \Rightarrow x^2 - 4x + 4 \ge 0 \Rightarrow (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.

Заметим, что подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Представим $x$ как $(x-1) + 1$.
$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = 6$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1| = 6$.

Поскольку $\sqrt{x-1} \ge 0$, выражение $\sqrt{x-1} + 1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.
Раскроем второй модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0$, то есть $\sqrt{x-1} \ge 1$. Возведя в квадрат, получаем $x-1 \ge 1$, откуда $x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = 6$
$2\sqrt{x-1} = 6$
$\sqrt{x-1} = 3$
Возводим в квадрат: $x-1 = 9 \Rightarrow x = 10$.
Корень $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Случай 2: $\sqrt{x-1} - 1 < 0$, то есть $\sqrt{x-1} < 1$. С учетом ОДЗ, имеем $1 \le x < 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = 6$
$2 = 6$.
Получили неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Единственным решением уравнения является $x=10$.
Ответ: $x = 10$.

2) Решим уравнение $ \sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x+5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x+5}} = 2 $.
Определим ОДЗ:
$x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$.
$x+6+2\sqrt{x+5} \ge 0$ выполняется для $x \ge -5$.
$x+6-2\sqrt{x+5} \ge 0 \Rightarrow x+6 \ge 2\sqrt{x+5}$. Возводим в квадрат: $(x+6)^2 \ge 4(x+5) \Rightarrow x^2+12x+36 \ge 4x+20 \Rightarrow x^2+8x+16 \ge 0 \Rightarrow (x+4)^2 \ge 0$. Это верно для любых $x$.
ОДЗ: $x \ge -5$.

Как и в предыдущем задании, преобразуем подкоренные выражения в полные квадраты.
Представим $x+6$ как $(x+5)+1$.
$x + 6 + 2\sqrt{x+5} = (x+5) + 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+5} + 1)^2$.
$x + 6 - 2\sqrt{x+5} = (x+5) - 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+5} - 1)^2$.

Подставим в уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x+5} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+5} - 1)^2} = 2$.
Применяем свойство $\sqrt{a^2}=|a|$:
$|\sqrt{x+5} + 1| - |\sqrt{x+5} - 1| = 2$.

Выражение $\sqrt{x+5}+1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{x+5} + 1| = \sqrt{x+5} + 1$.
Рассмотрим два случая для второго модуля.

Случай 1: $\sqrt{x+5} - 1 \ge 0$, то есть $\sqrt{x+5} \ge 1$. Возводим в квадрат: $x+5 \ge 1 \Rightarrow x \ge -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5} - 1| = \sqrt{x+5} - 1$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x+5} + 1) - (\sqrt{x+5} - 1) = 2$
$\sqrt{x+5} + 1 - \sqrt{x+5} + 1 = 2$
$2 = 2$.
Получили тождество. Это означает, что все значения $x$, удовлетворяющие условию этого случая ($x \ge -4$), являются решениями уравнения.

Случай 2: $\sqrt{x+5} - 1 < 0$, то есть $\sqrt{x+5} < 1$. С учетом ОДЗ, имеем $-5 \le x < -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5} - 1| = -(\sqrt{x+5} - 1) = 1 - \sqrt{x+5}$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x+5} + 1) - (1 - \sqrt{x+5}) = 2$
$\sqrt{x+5} + 1 - 1 + \sqrt{x+5} = 2$
$2\sqrt{x+5} = 2$
$\sqrt{x+5} = 1$
Возводим в квадрат: $x+5 = 1 \Rightarrow x = -4$.
Однако, это значение не удовлетворяет условию $x < -4$, поэтому в данном случае решений нет.

Объединяя результаты, получаем, что решением уравнения является множество всех $x \ge -4$.
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.