Страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.10. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3;$

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4;$

3) $\sqrt{3x-1} + \sqrt{x+3} = 2;$

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5.$

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$
$10-x \ge 0 \implies x \le 10$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [5; 10]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:
$(\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x})^2 = 3^2$
$(\sqrt{x-5})^2 + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + (\sqrt{10-x})^2 = 9$
$x-5 + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + 10-x = 9$
Приведем подобные слагаемые:
$5 + 2\sqrt{10x - x^2 - 50 + 5x} = 9$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9 - 5$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$
$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$

Снова возведем обе части в квадрат:
$-x^2 + 15x - 50 = 2^2$
$-x^2 + 15x - 50 = 4$
$-x^2 + 15x - 54 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$x^2 - 15x + 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 54. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $[5; 10]$.
$x_1 = 6$ принадлежит ОДЗ.
$x_2 = 9$ принадлежит ОДЗ.
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: 6; 9.

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4$

Найдем ОДЗ:
$x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 7$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1})^2 = 4^2$
$(x-7) + 2\sqrt{(x-7)(x-1)} + (x-1) = 16$
$2x - 8 + 2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 16$
Уединим радикал:
$2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 16 - 2x + 8$
$2\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 24 - 2x$
$\sqrt{x^2 - 8x + 7} = 12 - x$

Поскольку левая часть (арифметический корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $12 - x \ge 0$, что означает $x \le 12$.
С учетом ОДЗ, получаем ограничение на $x$: $7 \le x \le 12$.
Теперь возведем последнее уравнение в квадрат:
$x^2 - 8x + 7 = (12-x)^2$
$x^2 - 8x + 7 = 144 - 24x + x^2$
$-8x + 7 = 144 - 24x$
$24x - 8x = 144 - 7$
$16x = 137$
$x = \frac{137}{16}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $7 \le x \le 12$.
$\frac{137}{16} = 8 \frac{9}{16}$. Так как $7 \le 8 \frac{9}{16} \le 12$, корень подходит.

Ответ: $\frac{137}{16}$.

3) $\sqrt{3x-1} + \sqrt{x+3} = 2$

Найдем ОДЗ:
$3x-1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{3}$
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
ОДЗ: $x \ge \frac{1}{3}$.

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x-1} + \sqrt{x+3})^2 = 2^2$
$(3x-1) + 2\sqrt{(3x-1)(x+3)} + (x+3) = 4$
$4x + 2 + 2\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 4$
$2\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 2 - 4x$
$\sqrt{3x^2 + 8x - 3} = 1 - 2x$

Правая часть должна быть неотрицательной: $1 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}$.
С учетом ОДЗ, получаем $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
$3x^2 + 8x - 3 = (1-2x)^2$
$3x^2 + 8x - 3 = 1 - 4x + 4x^2$
$x^2 - 12x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(4) = 144 - 16 = 128$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}$

Получили два корня: $x_1 = 6 + 4\sqrt{2}$ и $x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$.
Проверим их соответствие условию $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.
$x_1 = 6 + 4\sqrt{2}$ очевидно больше $\frac{1}{2}$, значит, это посторонний корень.
Для $x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$, оценим его значение. $\sqrt{2} \approx 1.414$, тогда $x_2 \approx 6 - 4(1.414) = 6 - 5.656 = 0.344$.
Так как $\frac{1}{3} \approx 0.333$ и $\frac{1}{2} = 0.5$, то значение $0.344$ находится в интервале $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$. Следовательно, $x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$ является решением.

Ответ: $6 - 4\sqrt{2}$.

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5$

Найдем ОДЗ:
$13-4x \ge 0 \implies 4x \le 13 \implies x \le \frac{13}{4} = 3.25$
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
ОДЗ: $x \in [-3; \frac{13}{4}]$.

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3})^2 = 5^2$
$(13-4x) + 2\sqrt{(13-4x)(x+3)} + (x+3) = 25$
$-3x + 16 + 2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 25$
$2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 9 + 3x$

Правая часть должна быть неотрицательной: $9+3x \ge 0 \implies 3x \ge -9 \implies x \ge -3$. Это условие не сужает ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$4(-4x^2 + x + 39) = (9+3x)^2$
$-16x^2 + 4x + 156 = 81 + 54x + 9x^2$
$25x^2 + 50x - 75 = 0$
Разделим все уравнение на 25:
$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $[-3; \frac{13}{4}]$.
$x_1 = 1$ принадлежит ОДЗ.
$x_2 = -3$ принадлежит ОДЗ.
Подставим корни в исходное уравнение для проверки:
При $x=1$: $\sqrt{13-4(1)} + \sqrt{1+3} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$. Верно.
При $x=-3$: $\sqrt{13-4(-3)} + \sqrt{-3+3} = \sqrt{13+12} + \sqrt{0} = \sqrt{25}=5$. Верно.

Ответ: -3; 1.

14.11. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5} = 3;$

2) $\sqrt{5x+1} + \sqrt{7-x} = 6.$

1) $\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5} = 3$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения, стоящие под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-5; 4]$.

Теперь решим уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5})^2 = 3^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:

$(\sqrt{4-x})^2 + 2 \cdot \sqrt{4-x} \cdot \sqrt{x+5} + (\sqrt{x+5})^2 = 9$

$(4-x) + 2\sqrt{(4-x)(x+5)} + (x+5) = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9 + 2\sqrt{(4-x)(x+5)} = 9$

Вычтем 9 из обеих частей:

$2\sqrt{(4-x)(x+5)} = 0$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{(4-x)(x+5)} = 0$

Возведем обе части в квадрат еще раз:

$(4-x)(x+5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$4-x = 0$ или $x+5 = 0$

Отсюда находим два возможных корня:

$x_1 = 4$

$x_2 = -5$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Оба корня, $x=4$ и $x=-5$, принадлежат отрезку $[-5; 4]$.

Выполним проверку, подставив корни в исходное уравнение:

Для $x = 4$: $\sqrt{4-4} + \sqrt{4+5} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3$. Равенство верно.

Для $x = -5$: $\sqrt{4-(-5)} + \sqrt{-5+5} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-5; 4$.

2) $\sqrt{5x+1} + \sqrt{7-x} = 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 5x + 1 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 5x \ge -1 \\ x \le 7 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -1/5 \\ x \le 7 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-1/5; 7]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x+1} + \sqrt{7-x})^2 = 6^2$

$(5x+1) + 2\sqrt{(5x+1)(7-x)} + (7-x) = 36$

Приведем подобные слагаемые:

$4x + 8 + 2\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 36$

Изолируем радикал в одной части уравнения:

$2\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 36 - 8 - 4x$

$2\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 28 - 4x$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{(5x+1)(7-x)} = 14 - 2x$

Так как левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $14 - 2x \ge 0$, что дает $2x \le 14$ или $x \le 7$. Это условие не сужает найденную ранее ОДЗ.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(5x+1)(7-x) = (14 - 2x)^2$

$35x - 5x^2 + 7 - x = 196 - 56x + 4x^2$

$-5x^2 + 34x + 7 = 4x^2 - 56x + 196$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 - 90x + 189 = 0$

Разделим уравнение на 9 для упрощения:

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 21. Легко подобрать корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = 7$

Оба корня, $x=3$ и $x=7$, принадлежат ОДЗ $x \in [-1/5; 7]$.

Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:

Для $x = 3$: $\sqrt{5(3)+1} + \sqrt{7-3} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. Равенство верно.

Для $x = 7$: $\sqrt{5(7)+1} + \sqrt{7-7} = \sqrt{36} + \sqrt{0} = 6 + 0 = 6$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $3; 7$.

14.12. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{5x-1} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x-1}$;

3) $2\sqrt{3x-1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{x-9}$;

4) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$.

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3} = 2\sqrt{x}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$2x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/2$

$x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$

$x \ge 0$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x - 3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x + 1) + 2\sqrt{(2x + 1)(x - 3)} + (x - 3) = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x - 2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

Так как $x \ge 3$, то $x+2$ всегда положительно. Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x + 2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{24 + 32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$

$x_2 = \frac{24 - 32}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 3$). Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -4/7$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $4$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{5x - 1} - \sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 1}$.

Найдем ОДЗ:

$5x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1/5$

$3x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2/3$

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем один из корней в правую часть для удобства:

$\sqrt{5x - 1} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x - 1})^2 = (\sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2})^2$

$5x - 1 = (x - 1) + 2\sqrt{(x - 1)(3x - 2)} + (3x - 2)$

$5x - 1 = 4x - 3 + 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

$x + 2 = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

Так как $x \ge 1$, то $x+2$ всегда положительно. Снова возведем в квадрат:

$(x + 2)^2 = 4(3x^2 - 5x + 2)$

$x^2 + 4x + 4 = 12x^2 - 20x + 8$

$11x^2 - 24x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 4 = 576 - 176 = 400 = 20^2$.

$x_1 = \frac{24 + 20}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2$

$x_2 = \frac{24 - 20}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 1$). Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = 2/11$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $2$.

3)

Исходное уравнение: $2\sqrt{3x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 9}$.

Найдем ОДЗ:

$3x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1/3$

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

$x - 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 9$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 9$.

Перепишем уравнение: $2\sqrt{3x - 1} = \sqrt{x - 9} + \sqrt{x - 1}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{3x - 1})^2 = (\sqrt{x - 9} + \sqrt{x - 1})^2$

$4(3x - 1) = (x - 9) + 2\sqrt{(x - 9)(x - 1)} + (x - 1)$

$12x - 4 = 2x - 10 + 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

$10x + 6 = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

$5x + 3 = \sqrt{x^2 - 10x + 9}$

При $x \ge 9$ левая часть $5x+3$ положительна. Возведем в квадрат:

$(5x + 3)^2 = x^2 - 10x + 9$

$25x^2 + 30x + 9 = x^2 - 10x + 9$

$24x^2 + 40x = 0$

$8x(3x + 5) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5/3$.

Ни один из этих корней не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 9$).

Ответ: нет корней.

4)

Исходное уравнение: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}$.

Найдем ОДЗ:

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$

$9 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 9$

$2x - 12 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $6 \le x \le 9$.

Также, поскольку правая часть неотрицательна, левая часть тоже должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x} \Rightarrow x+1 \ge 9-x \Rightarrow 2x \ge 8 \Rightarrow x \ge 4$. Это условие выполняется в найденной ОДЗ.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x})^2 = (\sqrt{2x - 12})^2$

$(x + 1) - 2\sqrt{(x + 1)(9 - x)} + (9 - x) = 2x - 12$

$10 - 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9} = 2x - 12$

$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

$11 - x = \sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

В нашей ОДЗ ($6 \le x \le 9$) левая часть $11-x$ положительна. Возводим в квадрат:

$(11 - x)^2 = -x^2 + 8x + 9$

$121 - 22x + x^2 = -x^2 + 8x + 9$

$2x^2 - 30x + 112 = 0$

Разделим на 2: $x^2 - 15x + 56 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = 8$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($6 \le x \le 9$).

Ответ: $7; 8$.

14.13. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x};$

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}.$

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -7/3 \\ x \le 8 \end{cases}$
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [-2, 8]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7})^2 = (\sqrt{8-x})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3x+7)} + (3x+7) = 8-x$
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 7x + 6x + 14} = 8-x$
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8-x$

Уединим радикал в левой части уравнения:
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8 - x - 4x - 9$
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = -5x - 1$

Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной:
$-5x - 1 \ge 0 \implies -5x \ge 1 \implies x \le -1/5$.
С учетом ОДЗ, возможные решения должны находиться в промежутке $[-2, -1/5]$.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{3x^2 + 13x + 14})^2 = (-5x - 1)^2$
$4(3x^2 + 13x + 14) = 25x^2 + 10x + 1$
$12x^2 + 52x + 56 = 25x^2 + 10x + 1$
$13x^2 - 42x - 55 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-55) = 1764 + 2860 = 4624 = 68^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 + 68}{2 \cdot 13} = \frac{110}{26} = \frac{55}{13}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 - 68}{2 \cdot 13} = \frac{-26}{26} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \in [-2, -1/5]$.
Корень $x_1 = 55/13 \approx 4.23$ не удовлетворяет условию $x \le -1/5$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x \in [-2, -1/5]$.
Выполним проверку, подставив $x=-1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{-1+2} + \sqrt{3(-1)+7} = \sqrt{8-(-1)}$
$\sqrt{1} + \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$1 + 2 = 3$
$3 = 3$ (Верно).
Следовательно, $x=-1$ является решением уравнения.

Ответ: -1.

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 6x-11 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 11/6 \\ x \ge 2 \\ x \ge -3 \end{cases}$
Наиболее сильное условие - $x \ge 2$. ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Перенесем член $\sqrt{x-2}$ в правую часть, чтобы избежать отрицательных значений при возведении в квадрат:
$\sqrt{6x-11} = \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{6x-11})^2 = (\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2$
$6x-11 = (x-2) + 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + (x+3)$
$6x-11 = 2x + 1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6}$

Уединим радикал:
$6x - 11 - 2x - 1 = 2\sqrt{x^2 + x - 6}$
$4x - 12 = 2\sqrt{x^2 + x - 6}$
$2x - 6 = \sqrt{x^2 + x - 6}$

Левая часть должна быть неотрицательной:
$2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$.
Это условие более строгое, чем ОДЗ, поэтому будем проверять корни по нему.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(2x - 6)^2 = (\sqrt{x^2 + x - 6})^2$
$4x^2 - 24x + 36 = x^2 + x - 6$
$3x^2 - 25x + 42 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 - 504 = 121 = 11^2$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 3$.
Корень $x_2 = 7/3 \approx 2.33$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, значит, это посторонний корень.
Проверим корень $x=6$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{6(6)-11} - \sqrt{6-2} = \sqrt{6+3}$
$\sqrt{36-11} - \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$\sqrt{25} - 2 = 3$
$5 - 2 = 3$
$3 = 3$ (Верно).

Ответ: 6.

14.14. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6;$

2) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1;$

3) $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4.$

1) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab+b^2$.

Для первого слагаемого: $x-1-2\sqrt{x-2} = (x-2) - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-2}-1)^2$.

Для второго слагаемого: $x+7-6\sqrt{x-2} = (x-2) - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 3 + 3^2 = x-2 - 6\sqrt{x-2} + 9 = (\sqrt{x-2}-3)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x-2}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2} = 6$

Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:

$|\sqrt{x-2}-1| + |\sqrt{x-2}-3| = 6$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x-2}$. Так как $x \ge 2$, то $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется к виду: $|y-1| + |y-3| = 6$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая на числовой прямой для $y \ge 0$.

1. Если $0 \le y < 1$, то $y-1 < 0$ и $y-3 < 0$. Уравнение принимает вид:

$-(y-1) - (y-3) = 6$

$1-y + 3-y = 6$

$4-2y = 6$

$-2y = 2 \implies y = -1$. Это значение не принадлежит промежутку $0 \le y < 1$, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если $1 \le y \le 3$, то $y-1 \ge 0$ и $y-3 \le 0$. Уравнение принимает вид:

$(y-1) - (y-3) = 6$

$y-1 - y+3 = 6$

$2 = 6$. Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

3. Если $y > 3$, то $y-1 > 0$ и $y-3 > 0$. Уравнение принимает вид:

$(y-1) + (y-3) = 6$

$2y - 4 = 6$

$2y = 10 \implies y=5$. Это значение удовлетворяет условию $y > 3$.

Мы нашли единственное решение для $y$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$\sqrt{x-2} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 = 25 \implies x = 27$.

Найденный корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: $27$.

2) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1$

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделяя полные квадраты:

$x+3-4\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} \cdot 2 + 4 = (\sqrt{x-1}-2)^2$.

$x+8-6\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} \cdot 3 + 9 = (\sqrt{x-1}-3)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2} = 1$

$|\sqrt{x-1}-2| + |\sqrt{x-1}-3| = 1$

Сделаем замену $y = \sqrt{x-1}$, где $y \ge 0$.

$|y-2| + |y-3| = 1$

Рассмотрим три случая:

1. Если $0 \le y < 2$, то $y-2 < 0$ и $y-3 < 0$.

$-(y-2) - (y-3) = 1$

$2-y + 3-y = 1$

$5-2y = 1 \implies 2y=4 \implies y=2$. Это значение не входит в интервал $0 \le y < 2$. Решений нет.

2. Если $2 \le y \le 3$, то $y-2 \ge 0$ и $y-3 \le 0$.

$(y-2) - (y-3) = 1$

$y-2 - y+3 = 1$

$1=1$. Это тождество, верное для всех $y$ из данного промежутка. Следовательно, решением является весь отрезок $2 \le y \le 3$.

3. Если $y > 3$, то $y-2 > 0$ и $y-3 > 0$.

$(y-2) + (y-3) = 1$

$2y-5 = 1 \implies 2y=6 \implies y=3$. Это значение является концом отрезка, найденного в предыдущем случае.

Таким образом, решением для $y$ является отрезок $[2, 3]$. Вернемся к переменной $x$:

$2 \le \sqrt{x-1} \le 3$

Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$4 \le x-1 \le 9$

Прибавим 1 ко всем частям:

$5 \le x \le 10$.

Все значения из этого отрезка удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: $[5; 10]$.

3) $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Преобразуем подкоренные выражения:

$x+2+2\sqrt{x+1} = (x+1) + 2\sqrt{x+1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+1}+1)^2$.

$x+5-4\sqrt{x+1} = (x+1) - 2\sqrt{x+1} \cdot 2 + 4 = (\sqrt{x+1}-2)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2} = 4$

$|\sqrt{x+1}+1| - |\sqrt{x+1}-2| = 4$

Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x+1}+1| = \sqrt{x+1}+1$.

Уравнение упрощается:

$(\sqrt{x+1}+1) - |\sqrt{x+1}-2| = 4$

Сделаем замену $y = \sqrt{x+1}$, где $y \ge 0$.

$(y+1) - |y-2| = 4$

Рассмотрим два случая:

1. Если $0 \le y < 2$, то $y-2 < 0$.

$(y+1) - (-(y-2)) = 4$

$y+1 + y-2 = 4$

$2y-1 = 4 \implies 2y=5 \implies y=2.5$. Это значение не входит в промежуток $0 \le y < 2$. Решений нет.

2. Если $y \ge 2$, то $y-2 \ge 0$.

$(y+1) - (y-2) = 4$

$y+1 - y+2 = 4$

$3=4$. Получено неверное равенство. Решений нет.

Так как ни в одном из случаев решений для $y$ не найдено, то исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

14.15. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6;$

2) $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 2.$

1) Решим уравнение $ \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 6 $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Выражения под внешними корнями также должны быть неотрицательными.
$x + 2\sqrt{x-1} \ge 0$ выполняется для всех $x \ge 1$, так как $x > 0$ и $\sqrt{x-1} \ge 0$.
$x - 2\sqrt{x-1} \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\sqrt{x-1}$. Так как обе части неотрицательны при $x \ge 1$, возводим в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1) \Rightarrow x^2 - 4x + 4 \ge 0 \Rightarrow (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.

Заметим, что подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Представим $x$ как $(x-1) + 1$.
$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = 6$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1| = 6$.

Поскольку $\sqrt{x-1} \ge 0$, выражение $\sqrt{x-1} + 1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.
Раскроем второй модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0$, то есть $\sqrt{x-1} \ge 1$. Возведя в квадрат, получаем $x-1 \ge 1$, откуда $x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = 6$
$2\sqrt{x-1} = 6$
$\sqrt{x-1} = 3$
Возводим в квадрат: $x-1 = 9 \Rightarrow x = 10$.
Корень $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Случай 2: $\sqrt{x-1} - 1 < 0$, то есть $\sqrt{x-1} < 1$. С учетом ОДЗ, имеем $1 \le x < 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = 6$
$2 = 6$.
Получили неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Единственным решением уравнения является $x=10$.
Ответ: $x = 10$.

2) Решим уравнение $ \sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x+5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x+5}} = 2 $.
Определим ОДЗ:
$x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$.
$x+6+2\sqrt{x+5} \ge 0$ выполняется для $x \ge -5$.
$x+6-2\sqrt{x+5} \ge 0 \Rightarrow x+6 \ge 2\sqrt{x+5}$. Возводим в квадрат: $(x+6)^2 \ge 4(x+5) \Rightarrow x^2+12x+36 \ge 4x+20 \Rightarrow x^2+8x+16 \ge 0 \Rightarrow (x+4)^2 \ge 0$. Это верно для любых $x$.
ОДЗ: $x \ge -5$.

Как и в предыдущем задании, преобразуем подкоренные выражения в полные квадраты.
Представим $x+6$ как $(x+5)+1$.
$x + 6 + 2\sqrt{x+5} = (x+5) + 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+5} + 1)^2$.
$x + 6 - 2\sqrt{x+5} = (x+5) - 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+5} - 1)^2$.

Подставим в уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x+5} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+5} - 1)^2} = 2$.
Применяем свойство $\sqrt{a^2}=|a|$:
$|\sqrt{x+5} + 1| - |\sqrt{x+5} - 1| = 2$.

Выражение $\sqrt{x+5}+1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{x+5} + 1| = \sqrt{x+5} + 1$.
Рассмотрим два случая для второго модуля.

Случай 1: $\sqrt{x+5} - 1 \ge 0$, то есть $\sqrt{x+5} \ge 1$. Возводим в квадрат: $x+5 \ge 1 \Rightarrow x \ge -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5} - 1| = \sqrt{x+5} - 1$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x+5} + 1) - (\sqrt{x+5} - 1) = 2$
$\sqrt{x+5} + 1 - \sqrt{x+5} + 1 = 2$
$2 = 2$.
Получили тождество. Это означает, что все значения $x$, удовлетворяющие условию этого случая ($x \ge -4$), являются решениями уравнения.

Случай 2: $\sqrt{x+5} - 1 < 0$, то есть $\sqrt{x+5} < 1$. С учетом ОДЗ, имеем $-5 \le x < -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5} - 1| = -(\sqrt{x+5} - 1) = 1 - \sqrt{x+5}$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x+5} + 1) - (1 - \sqrt{x+5}) = 2$
$\sqrt{x+5} + 1 - 1 + \sqrt{x+5} = 2$
$2\sqrt{x+5} = 2$
$\sqrt{x+5} = 1$
Возводим в квадрат: $x+5 = 1 \Rightarrow x = -4$.
Однако, это значение не удовлетворяет условию $x < -4$, поэтому в данном случае решений нет.

Объединяя результаты, получаем, что решением уравнения является множество всех $x \ge -4$.
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

14.16. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8};$

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 2} - \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{3x + 6}.$

1) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$

Сначала разложим подкоренные выражения на множители:

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 + 2x - 8 = (x-2)(x+4)$

$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(x-2)(x+2)} + \sqrt{(x-2)(x+4)} = \sqrt{(x-2)(x-4)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} (x-2)(x+2) \ge 0 \\ (x-2)(x+4) \ge 0 \\ (x-2)(x-4) \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы неравенств является множество $x \in (-\infty, -4] \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.

Рассмотрим точку $x=2$, которая входит в ОДЗ как изолированное решение. Подставим $x=2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2^2 - 4} + \sqrt{2^2 + 2(2) - 8} = \sqrt{2^2 - 6(2) + 8}$

$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что является верным равенством. Следовательно, $x=2$ — корень уравнения.

Теперь рассмотрим остальные случаи из ОДЗ. Перенесем все члены в левую часть:

$\sqrt{(x-2)(x+2)} + \sqrt{(x-2)(x+4)} - \sqrt{(x-2)(x-4)} = 0$

Вынесем общий множитель. Для разных интервалов ОДЗ множитель будет $\sqrt{x-2}$ или $\sqrt{2-x}$.

Случай 1: $x \in [4, \infty)$. В этом случае $x-2 > 0$, и мы можем вынести $\sqrt{x-2}$:

$\sqrt{x-2} (\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} - \sqrt{x-4}) = 0$

Так как на этом интервале $x \ne 2$, то $\sqrt{x-2} \ne 0$. Значит, должно выполняться равенство:

$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} = \sqrt{x-4}$

Однако, при $x \ge 4$ имеем $x+2 > x-4$, следовательно $\sqrt{x+2} > \sqrt{x-4}$. Поскольку $\sqrt{x+4} > 0$, левая часть уравнения всегда строго больше правой. Значит, на интервале $[4, \infty)$ решений нет.

Случай 2: $x \in (-\infty, -4]$. В этом случае $x-2 < 0$, $x+2 < 0$, $x+4 \le 0$, $x-4 < 0$. Мы можем переписать подкоренные выражения как произведение отрицательных чисел: $\sqrt{(2-x)(-x-2)}$.

Уравнение примет вид: $\sqrt{(2-x)(-x-2)} + \sqrt{(2-x)(-x-4)} = \sqrt{(2-x)(4-x)}$.

На этом интервале $2-x > 0$. Вынесем $\sqrt{2-x}$ за скобки и, поскольку он не равен нулю, разделим на него:

$\sqrt{-x-2} + \sqrt{-x-4} = \sqrt{4-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(-x-2) + 2\sqrt{(-x-2)(-x-4)} + (-x-4) = 4-x$

$-2x - 6 + 2\sqrt{x^2 + 6x + 8} = 4-x$

$2\sqrt{x^2 + 6x + 8} = x + 10$

Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $x+10 \ge 0$, то есть $x \ge -10$. С учетом рассматриваемого интервала, ищем решения на отрезке $[-10, -4]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$4(x^2 + 6x + 8) = (x+10)^2$

$4x^2 + 24x + 32 = x^2 + 20x + 100$

$3x^2 + 4x - 68 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4(3)(-68) = 16 + 816 = 832 = 64 \cdot 13$.

Корни уравнения: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{832}}{6} = \frac{-4 \pm 8\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{13}}{3}$.

Проверим, входят ли эти корни в отрезок $[-10, -4]$.

$x_1 = \frac{-2 + 4\sqrt{13}}{3}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_1 \approx \frac{-2 + 4 \cdot 3.6}{3} = \frac{12.4}{3} \approx 4.13$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-10, -4]$.

$x_2 = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$. $x_2 \approx \frac{-2 - 14.4}{3} = \frac{-16.4}{3} \approx -5.47$. Этот корень принадлежит отрезку $[-10, -4]$.

Таким образом, объединяя все найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $2; \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$.

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 2} - \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{3x + 6}$

Разложим подкоренные выражения на множители:

$2x^2 + 5x + 2 = (2x+1)(x+2)$

$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$

$3x + 6 = 3(x+2)$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(2x+1)(x+2)} - \sqrt{(x-1)(x+2)} = \sqrt{3(x+2)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} (2x+1)(x+2) \ge 0 \\ (x-1)(x+2) \ge 0 \\ 3(x+2) \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы неравенств является множество $x \in \{-2\} \cup [1, \infty)$.

Рассмотрим точку $x=-2$, которая является изолированным решением в ОДЗ. Подставим $x=-2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-2)^2 + 5(-2) + 2} - \sqrt{(-2)^2 + (-2) - 2} = \sqrt{3(-2) + 6}$

$\sqrt{8 - 10 + 2} - \sqrt{4 - 2 - 2} = \sqrt{-6 + 6}$

$\sqrt{0} - \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что верно. Следовательно, $x=-2$ — корень уравнения.

Теперь рассмотрим случай $x \in [1, \infty)$. На этом интервале $x+2 > 0$. Вынесем $\sqrt{x+2}$ за скобки:

$\sqrt{x+2}(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1}) = \sqrt{x+2}\sqrt{3}$

Поскольку $x \ge 1$, то $x+2 \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt{x+2}$:

$\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3}$

Перенесем $\sqrt{x-1}$ в правую часть:

$\sqrt{2x+1} = \sqrt{x-1} + \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$2x+1 = (x-1) + 2\sqrt{3(x-1)} + 3$

$2x+1 = x+2 + 2\sqrt{3x-3}$

$x-1 = 2\sqrt{3x-3}$

При $x \ge 1$ левая часть $x-1$ неотрицательна, поэтому мы можем снова возвести в квадрат:

$(x-1)^2 = (2\sqrt{3x-3})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(3x-3)$

$x^2 - 2x + 1 = 12x - 12$

$x^2 - 14x + 13 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 13$.

Оба корня принадлежат рассматриваемому интервалу $[1, \infty)$ и являются решениями.

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: $-2; 1; 13$.

14.17. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{x^2 - 11x + 18};$

2) $\sqrt{x^2 - 3x - 10} + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = \sqrt{x^2 + 8x + 12}.$

1) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{x^2 - 11x + 18}$.
Сначала разложим подкоренные выражения на множители, найдя корни соответствующих квадратных трехчленов:
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$
$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$
$x^2 - 11x + 18 = (x-2)(x-9)$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x-2)(x-4)} = \sqrt{(x-2)(x-9)}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательны:
$\begin{cases} (x-1)(x-2) \ge 0 \\ (x-2)(x-4) \ge 0 \\ (x-2)(x-9) \ge 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [9, \infty)$.
Проверим, является ли $x=2$ корнем уравнения, так как это значение является граничной точкой для всех интервалов. Подставляя $x=2$ в исходное уравнение, получаем:
$\sqrt{2^2 - 3(2) + 2} + \sqrt{2^2 - 6(2) + 8} = \sqrt{2^2 - 11(2) + 18}$
$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что является верным равенством. Следовательно, $x=2$ — корень уравнения.
Рассмотрим остальные случаи из ОДЗ, где $x \neq 2$.
Случай 1: $x \in (-\infty, 1]$. В этом случае множители $(x-1), (x-2), (x-4), (x-9)$ отрицательны. Тогда уравнение можно переписать как:
$\sqrt{(1-x)(2-x)} + \sqrt{(2-x)(4-x)} = \sqrt{(2-x)(9-x)}$
Поскольку на данном промежутке $2-x > 0$, можно разделить обе части уравнения на $\sqrt{2-x}$:
$\sqrt{1-x} + \sqrt{4-x} = \sqrt{9-x}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{1-x} + \sqrt{4-x})^2 = (\sqrt{9-x})^2$
$(1-x) + 2\sqrt{(1-x)(4-x)} + (4-x) = 9-x$
$5 - 2x + 2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 9-x$
$2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = x + 4$
Правая часть должна быть неотрицательной: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$. С учетом рассматриваемого промежутка, ищем корни на отрезке $[-4, 1]$.
Возведем в квадрат еще раз:
$4(x^2 - 5x + 4) = (x+4)^2$
$4x^2 - 20x + 16 = x^2 + 8x + 16$
$3x^2 - 28x = 0 \implies x(3x-28) = 0$
Отсюда $x_1=0$ или $x_2 = 28/3$.
Корень $x_1=0$ принадлежит отрезку $[-4, 1]$. Корень $x_2 = 28/3 \approx 9.33$ не принадлежит этому отрезку. Значит, $x=0$ является решением.
Случай 2: $x \in [9, \infty)$. В этом случае множители $(x-1), (x-2), (x-4), (x-9)$ неотрицательны. Разделим уравнение $\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x-2)(x-4)} = \sqrt{(x-2)(x-9)}$ на $\sqrt{x-2} > 0$:
$\sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = \sqrt{x-9}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-4)} + (x-4) = x-9$
$2x - 5 + 2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = x-9$
$2\sqrt{x^2 - 5x + 4} = -x - 4$
Левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, и правая должна быть неотрицательной: $-x-4 \ge 0 \implies x \le -4$.
Это условие противоречит рассматриваемому промежутку $x \in [9, \infty)$. Значит, на этом промежутке корней нет.
Объединяя все найденные корни, получаем: $0$ и $2$.
Ответ: $0; 2$.

2) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 3x - 10} + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = \sqrt{x^2 + 8x + 12}$.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$
$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$
$x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{(x-5)(x+2)} + \sqrt{(x+1)(x+2)} = \sqrt{(x+2)(x+6)}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} (x-5)(x+2) \ge 0 \\ (x+1)(x+2) \ge 0 \\ (x+2)(x+6) \ge 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup \{-2\} \cup [5, \infty)$.
Проверим, является ли $x=-2$ корнем. Подставляя $x=-2$ в исходное уравнение, получаем:
$\sqrt{(-2)^2 - 3(-2) - 10} + \sqrt{(-2)^2 + 3(-2) + 2} = \sqrt{(-2)^2 + 8(-2) + 12}$
$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$, что верно. Следовательно, $x=-2$ — корень уравнения.
Рассмотрим остальные случаи из ОДЗ, где $x \neq -2$.
Случай 1: $x \in (-\infty, -6]$. На этом промежутке $x+2 < 0$. Уравнение можно переписать как:
$\sqrt{(5-x)(-x-2)} + \sqrt{(-x-1)(-x-2)} = \sqrt{(-x-6)(-x-2)}$
Разделим на $\sqrt{-x-2} > 0$:
$\sqrt{5-x} + \sqrt{-x-1} = \sqrt{-x-6}$
Возведем обе части в квадрат:
$(5-x) + 2\sqrt{(5-x)(-x-1)} + (-x-1) = -x-6$
$4-2x + 2\sqrt{x^2-4x-5} = -x-6$
$2\sqrt{x^2-4x-5} = x-10$
Левая часть неотрицательна, значит $x-10 \ge 0 \implies x \ge 10$. Это условие не пересекается с промежутком $x \in (-\infty, -6]$. Корней в этом случае нет.
Случай 2: $x \in [5, \infty)$. На этом промежутке $x+2 > 0$. Разделим уравнение на $\sqrt{x+2} > 0$:
$\sqrt{x-5} + \sqrt{x+1} = \sqrt{x+6}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x+1)} + (x+1) = x+6$
$2x-4 + 2\sqrt{x^2-4x-5} = x+6$
$2\sqrt{x^2-4x-5} = 10-x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $10-x \ge 0 \implies x \le 10$. С учетом рассматриваемого промежутка, ищем корни на отрезке $[5, 10]$.
Возведем в квадрат еще раз:
$4(x^2-4x-5) = (10-x)^2$
$4x^2 - 16x - 20 = 100 - 20x + x^2$
$3x^2 + 4x - 120 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-120) = 16 + 1440 = 1456$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{1456}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 91}}{6} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{91}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{91}}{3}$
Получаем два корня: $x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3}$ и $x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{91}}{3}$.
Корень $x_2$ является отрицательным и не входит в отрезок $[5, 10]$.
Проверим корень $x_1$. Так как $9 < \sqrt{91} < 10$, то $5.33... = \frac{-2 + 2 \cdot 9}{3} < \frac{-2 + 2\sqrt{91}}{3} < \frac{-2 + 2 \cdot 10}{3} = 6$.
Значение $x_1$ принадлежит отрезку $[5, 10]$, следовательно, является корнем уравнения.
Объединяя все найденные корни, получаем: $-2$ и $\frac{-2+2\sqrt{91}}{3}$.
Ответ: $-2; \frac{-2+2\sqrt{91}}{3}$.

14.18. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$\sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}} = a - x.$

Исходное уравнение: $\sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}} = a - x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x + \frac{1}{4} \ge 0$, откуда $x \ge -\frac{1}{4}$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $a - x \ge 0$, откуда $x \le a$.
3. Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным: $x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} \ge 0$. При $x \ge -\frac{1}{4}$ имеем $\sqrt{x + \frac{1}{4}} \ge 0$ и $x + \frac{1}{2} = (x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4} > 0$. Следовательно, это выражение всегда положительно в области определения внутреннего корня.
Таким образом, ОДЗ для $x$ определяется системой неравенств: $-\frac{1}{4} \le x \le a$. Для существования решений необходимо, чтобы промежуток $[-\frac{1}{4}, a]$ не был пустым, то есть $a \ge -\frac{1}{4}$.

Преобразуем выражение под внешним корнем, выделив полный квадрат:$x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} = \left(x + \frac{1}{4}\right) + \sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} = \left(\sqrt{x + \frac{1}{4}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{x + \frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}\right)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:$\sqrt{\left(\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}\right)^2} = a - x$. Так как выражение $\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2}$ всегда положительно, уравнение принимает вид:$\sqrt{x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} = a - x$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x + \frac{1}{4}}$. По определению корня, $t \ge 0$. Из замены следует, что $t^2 = x + \frac{1}{4}$, то есть $x = t^2 - \frac{1}{4}$. Подставим в уравнение:$t + \frac{1}{2} = a - \left(t^2 - \frac{1}{4}\right)$$t + \frac{1}{2} = a - t^2 + \frac{1}{4}$$t^2 + t + \frac{1}{4} - a = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант:$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\frac{1}{4} - a\right) = 1 - 1 + 4a = 4a$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $4a \ge 0$, откуда $a \ge 0$. Корни уравнения: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{4a}}{2} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{a}}{2}$. Получаем два корня: $t_1 = \frac{-1 - 2\sqrt{a}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 + 2\sqrt{a}}{2}$.

Вспомним, что по условию замены $t \ge 0$. Корень $t_1 = \frac{-1 - 2\sqrt{a}}{2}$ является отрицательным при всех $a \ge 0$, так как $-1 - 2\sqrt{a} \le -1$. Следовательно, он не является решением. Рассмотрим корень $t_2 = \frac{-1 + 2\sqrt{a}}{2}$. Условие $t_2 \ge 0$ эквивалентно неравенству:$-1 + 2\sqrt{a} \ge 0 \implies 2\sqrt{a} \ge 1 \implies \sqrt{a} \ge \frac{1}{2}$. Возведя обе части в квадрат (это возможно, так как они неотрицательны), получаем $a \ge \frac{1}{4}$.

Таким образом, уравнение имеет решение только при $a \ge \frac{1}{4}$. При $a < \frac{1}{4}$ действительных решений, удовлетворяющих условию $t \ge 0$, нет. Если $a \ge \frac{1}{4}$, то $t = \frac{-1 + 2\sqrt{a}}{2}$. Произведем обратную замену:$\sqrt{x + \frac{1}{4}} = \frac{2\sqrt{a} - 1}{2}$. Возведем обе части в квадрат:$x + \frac{1}{4} = \left(\frac{2\sqrt{a} - 1}{2}\right)^2 = \frac{4a - 4\sqrt{a} + 1}{4}$.$x = \frac{4a - 4\sqrt{a} + 1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4a - 4\sqrt{a}}{4} = a - \sqrt{a}$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = a - \sqrt{a}$ условиям ОДЗ ($-\frac{1}{4} \le x \le a$) при $a \ge \frac{1}{4}$.
1. $a - \sqrt{a} \le a \implies -\sqrt{a} \le 0$. Это верно для всех $a \ge 0$.
2. $a - \sqrt{a} \ge -\frac{1}{4} \implies a - \sqrt{a} + \frac{1}{4} \ge 0 \implies (\sqrt{a} - \frac{1}{2})^2 \ge 0$. Это неравенство верно для всех $a \ge 0$.
Оба условия ОДЗ выполняются, следовательно, найденный корень является решением уравнения при $a \ge \frac{1}{4}$.

Ответ: если $a < \frac{1}{4}$, то корней нет; если $a \ge \frac{1}{4}$, то $x = a - \sqrt{a}$.

14.19. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} = a-x$.

Исходное уравнение: $2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} = a-x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внешним корнем $x+2+2\sqrt{x+1}$ и выражение под внутренним корнем $x+1$ должны быть неотрицательными.
1) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) Заметим, что $x+2+2\sqrt{x+1} = (x+1) + 2\sqrt{x+1} + 1 = (\sqrt{x+1} + 1)^2$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1} + 1 \ge 1$, следовательно $(\sqrt{x+1} + 1)^2 \ge 1$. Это выражение всегда положительно при $x \ge -1$.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge -1$.

Упростим левую часть уравнения:$2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} = 2\sqrt{(\sqrt{x+1} + 1)^2} = 2|\sqrt{x+1} + 1|$. Поскольку $\sqrt{x+1} + 1$ всегда положительно, модуль можно опустить: $2(\sqrt{x+1} + 1) = 2\sqrt{x+1} + 2$.

Уравнение принимает вид:$2\sqrt{x+1} + 2 = a - x$.

Для решения введем замену переменной: $t = \sqrt{x+1}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$. Также $x = t^2 - 1$. Подставим замену в уравнение:$2t + 2 = a - (t^2 - 1)$$2t + 2 = a - t^2 + 1$$t^2 + 2t + 1 = a$$(t+1)^2 = a$.

Так как $t \ge 0$, то $t+1 \ge 1$, и, следовательно, левая часть уравнения $(t+1)^2 \ge 1$. Это означает, что решения могут существовать только при $a \ge 1$. Рассмотрим решения для каждого значения параметра $a$.

При $a < 1$

В этом случае уравнение $(t+1)^2 = a$ не имеет решений, так как его левая часть не может быть меньше 1. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: решений нет.

При $a \ge 1$

Решаем уравнение $(t+1)^2 = a$. Так как $t+1 \ge 1$, извлекаем квадратный корень и выбираем положительное значение:$t+1 = \sqrt{a}$$t = \sqrt{a} - 1$.

Условие $t \ge 0$ выполняется, так как при $a \ge 1$ имеем $\sqrt{a} \ge 1$, и $\sqrt{a} - 1 \ge 0$.

Выполним обратную замену для нахождения $x$:$\sqrt{x+1} = t = \sqrt{a} - 1$. Возводим обе части в квадрат:$x+1 = (\sqrt{a} - 1)^2 = a - 2\sqrt{a} + 1$$x = a - 2\sqrt{a}$.

Это единственное решение уравнения для данного случая.
Ответ: $x = a - 2\sqrt{a}$.