Страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.20. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax - 1 = \sqrt{8x - x^2 - 15}$ имеет единственное решение?

Исходное уравнение: $ax - 1 = \sqrt{8x - x^2 - 15}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$8x - x^2 - 15 \geq 0$$x^2 - 8x + 15 \leq 0$Корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, ОДЗ для $x$: $x \in [3, 5]$.

Также, поскольку правая часть уравнения (квадратный корень) всегда неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:$ax - 1 \geq 0$

Итак, задача состоит в том, чтобы найти значения параметра $a$, при которых система$\begin{cases}ax - 1 = \sqrt{8x - x^2 - 15} \\ax - 1 \geq 0 \\x \in [3, 5]\end{cases}$имеет единственное решение.

При условии $ax - 1 \geq 0$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:$(ax - 1)^2 = 8x - x^2 - 15$$a^2x^2 - 2ax + 1 = 8x - x^2 - 15$$(a^2 + 1)x^2 - (2a + 8)x + 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Нам нужно найти, при каких $a$ это уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий условиям $x \in [3, 5]$ и $ax - 1 \geq 0$.

Рассмотрим возможные значения $a$. Если $a \leq 0$, то для $x \in [3, 5]$ выражение $ax$ будет неположительным. Тогда $ax-1 < 0$. Это противоречит условию $ax-1 \geq 0$. Следовательно, при $a \leq 0$ решений нет. Значит, мы ищем решения только для $a > 0$. При $a > 0$ условие $ax - 1 \geq 0$ равносильно $x \geq \frac{1}{a}$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения $(a^2 + 1)x^2 - 2(a + 4)x + 16 = 0$:$D = (2(a + 4))^2 - 4(a^2 + 1)(16) = 4(a^2 + 8a + 16) - 64(a^2 + 1) = 4a^2 + 32a + 64 - 64a^2 - 64 = -60a^2 + 32a = 4a(8 - 15a)$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \geq 0$. Так как $a > 0$, это означает $8 - 15a \geq 0$, откуда $a \leq \frac{8}{15}$. Таким образом, мы рассматриваем $a \in (0, \frac{8}{15}]$.

Случай 1: $D = 0$.Это происходит при $a = \frac{8}{15}$. Уравнение имеет один корень:$x = \frac{2(a + 4)}{2(a^2 + 1)} = \frac{a + 4}{a^2 + 1} = \frac{\frac{8}{15} + 4}{(\frac{8}{15})^2 + 1} = \frac{\frac{68}{15}}{\frac{64}{225} + 1} = \frac{\frac{68}{15}}{\frac{289}{225}} = \frac{68}{15} \cdot \frac{225}{289} = \frac{4 \cdot 17 \cdot 15}{17^2} = \frac{60}{17}$. Проверим условия для этого корня:1. $x \in [3, 5]$: $3 = \frac{51}{17}$, $5 = \frac{85}{17}$. Так как $51 < 60 < 85$, условие $x \in [3, 5]$ выполняется.2. $x \geq \frac{1}{a}$: $\frac{60}{17} \geq \frac{1}{8/15}$, то есть $\frac{60}{17} \geq \frac{15}{8}$. $60 \cdot 8 = 480$, $17 \cdot 15 = 255$. $480 > 255$, условие выполняется. Следовательно, при $a = \frac{8}{15}$ уравнение имеет единственное решение.

Случай 2: $D > 0$.Это происходит при $a \in (0, \frac{8}{15})$. В этом случае квадратное уравнение имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$. Пусть $f(x) = (a^2 + 1)x^2 - 2(a + 4)x + 16$.$f(3) = (a^2+1) \cdot 9 - 2(a+4) \cdot 3 + 16 = 9a^2+9 - 6a - 24 + 16 = 9a^2 - 6a + 1 = (3a-1)^2 \geq 0$.$f(5) = (a^2+1) \cdot 25 - 2(a+4) \cdot 5 + 16 = 25a^2+25 - 10a - 40 + 16 = 25a^2 - 10a + 1 = (5a-1)^2 \geq 0$. Вершина параболы $x_v = \frac{a+4}{a^2+1}$. Для $a \in (0, \frac{8}{15}]$ $x_v \in (3, 5)$. Поскольку $f(3) \geq 0$, $f(5) \geq 0$ и вершина параболы находится между 3 и 5, оба корня $x_1, x_2$ принадлежат отрезку $[3, 5]$.

Для получения единственного решения нам нужно, чтобы только один из двух корней $x_1, x_2$ удовлетворял условию $x \geq \frac{1}{a}$. Пусть $x_1 < x_2$. Это возможно в двух ситуациях:1) $x_1 < \frac{1}{a}$ и $x_2 > \frac{1}{a}$. Это эквивалентно тому, что $\frac{1}{a}$ лежит между корнями, то есть $f(\frac{1}{a}) < 0$.$f(\frac{1}{a}) = (a^2+1)(\frac{1}{a})^2 - 2(a+4)(\frac{1}{a}) + 16 = \frac{a^2+1}{a^2} - \frac{2a+8}{a} + 16 = 1+\frac{1}{a^2} - 2 - \frac{8}{a} + 16 = \frac{1}{a^2} - \frac{8}{a} + 15$. Неравенство $f(\frac{1}{a}) < 0$ имеет вид $\frac{1}{a^2} - \frac{8}{a} + 15 < 0$. Сделав замену $t = \frac{1}{a}$, получим $t^2 - 8t + 15 < 0$. Корни $t_1=3, t_2=5$. Решение неравенства: $3 < t < 5$. То есть $3 < \frac{1}{a} < 5$. Так как $a>0$, это равносильно $\frac{1}{5} < a < \frac{1}{3}$. В этом интервале будет ровно одно решение.

2) Один корень равен $\frac{1}{a}$, а другой меньше $\frac{1}{a}$. Это эквивалентно $f(\frac{1}{a}) = 0$.$t^2 - 8t + 15 = 0 \implies t=3$ или $t=5$. Если $t=3$, то $\frac{1}{a}=3 \implies a = \frac{1}{3}$. Корни уравнения при $a=1/3$: $x_1=3$ и $x_2 = 4.8$. Условие $x \geq \frac{1}{a}$ становится $x \geq 3$. Оба корня удовлетворяют этому условию, значит, при $a=1/3$ будет два решения. Если $t=5$, то $\frac{1}{a}=5 \implies a = \frac{1}{5}$. Корни уравнения при $a=1/5$: $x_1=\frac{40}{13}$ и $x_2 = 5$. Условие $x \geq \frac{1}{a}$ становится $x \geq 5$. Этому условию удовлетворяет только корень $x_2 = 5$. Значит, при $a=1/5$ будет одно решение.

Объединяя результаты для случая $D>0$, получаем, что единственное решение существует при $a \in [\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$.

Итоговый результат получаем, объединив все случаи, дающие единственное решение:- Из случая $D=0$: $a = \frac{8}{15}$.- Из случая $D>0$: $a \in [\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$.

Ответ: $a \in [\frac{1}{5}, \frac{1}{3}) \cup \{\frac{8}{15}\}$

14.21. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a$ имеет единственное решение?

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Исходное уравнение $\sqrt{4x - x^2 - 3} = x - a$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} y = \sqrt{4x - x^2 - 3} \\ y = x - a \end{cases}$

Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций.

1. Анализ функции $y = \sqrt{4x - x^2 - 3}$

Найдем область определения функции:$4x - x^2 - 3 \ge 0$$x^2 - 4x + 3 \le 0$Корнями уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [1, 3]$.

Преобразуем уравнение графика. Так как $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат:$y^2 = 4x - x^2 - 3$$x^2 - 4x + 3 + y^2 = 0$$(x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 + y^2 = 0$$(x - 2)^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности с центром в точке $C(2, 0)$ и радиусом $R = 1$. Учитывая условие $y \ge 0$, график функции представляет собой верхнюю полуокружность этой окружности.

2. Анализ функции $y = x - a$

Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k = 1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $Ox$ ( $a$ является $x$-координатой точки пересечения прямой с осью абсцисс).

3. Поиск количества точек пересечения

Нам необходимо найти все значения параметра $a$, при которых прямая $y = x - a$ имеет ровно одну общую точку с верхней полуокружностью $(x - 2)^2 + y^2 = 1, y \ge 0$.

Рассмотрим несколько ключевых положений прямой.

Случай 1: Прямая касается полуокружности.

Касание происходит, когда расстояние от центра окружности $C(2, 0)$ до прямой $x - y - a = 0$ равно радиусу $R = 1$. Используем формулу расстояния от точки до прямой:$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$\frac{|1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 1$$\frac{|2 - a|}{\sqrt{2}} = 1$$|2 - a| = \sqrt{2}$

Отсюда получаем два значения для $a$:1) $2 - a = \sqrt{2} \implies a = 2 - \sqrt{2}$2) $2 - a = -\sqrt{2} \implies a = 2 + \sqrt{2}$

Для $a = 2 - \sqrt{2}$ прямая $y = x - (2 - \sqrt{2})$ касается полуокружности в верхней полуплоскости (точка касания имеет координаты $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$). Следовательно, при $a = 2 - \sqrt{2}$ уравнение имеет одно решение.

Для $a = 2 + \sqrt{2}$ прямая касается окружности в нижней полуплоскости (точка касания $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$), поэтому она не пересекает график нашей функции. Решений нет.

Случай 2: Прямая проходит через концы полуокружности.

Концы полуокружности находятся в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

а) Прямая проходит через точку $(1, 0)$:$0 = 1 - a \implies a = 1$. При $a = 1$ прямая $y = x - 1$ пересекает полуокружность в двух точках: $(1, 0)$ и $(2, 1)$. Таким образом, при $a=1$ имеем два решения.

б) Прямая проходит через точку $(3, 0)$:$0 = 3 - a \implies a = 3$. При $a = 3$ прямая $y = x - 3$ пересекает полуокружность только в одной точке $(3, 0)$ (вторая точка пересечения с полной окружностью $(2, -1)$ лежит в нижней полуплоскости). Следовательно, при $a=3$ уравнение имеет одно решение.

Случай 3: Анализ промежуточных значений $a$.

- При $a < 2 - \sqrt{2}$ прямая находится выше касательной и не пересекает полуокружность (0 решений).- При $a \in (2 - \sqrt{2}, 1)$ прямая пересекает полуокружность в двух точках (2 решения).- При $a \in (1, 3)$ прямая пересекает основание полуокружности (отрезок $[1, 3]$ на оси $Ox$). При этом одна точка пересечения с полной окружностью будет иметь положительную ординату $y$, а другая — отрицательную. Таким образом, прямая пересекает верхнюю полуокружность ровно в одной точке (1 решение).- При $a > 3$ прямая проходит ниже точки $(3,0)$ и не пересекает верхнюю полуокружность (0 решений).

Вывод:

Единственное решение уравнение имеет в следующих случаях:

• При касании прямой и верхней полуокружности, что соответствует $a = 2 - \sqrt{2}$.
• Когда прямая проходит через правую конечную точку полуокружности, что соответствует $a=3$.
• Когда прямая пересекает полуокружность в одной точке при $a \in (1, 3)$.

Объединяя эти результаты, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a = 2 - \sqrt{2}$ и при $a \in (1, 3]$.

Ответ: $a \in \{2-\sqrt{2}\} \cup (1, 3]$.