Страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.

Равносильный переход при решении уравнений — это замена уравнения другим уравнением (или системой/совокупностью уравнений и неравенств), которое имеет в точности то же множество корней, что и исходное. При решении иррациональных уравнений основной метод — избавление от корня путем возведения в степень. Чтобы этот переход был равносильным, необходимо учитывать область определения и знак выражений.

1. Теорема для уравнений вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$

Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $$

Пояснение: Арифметический квадратный корень $\sqrt{f(x)}$ по определению является неотрицательной величиной. Следовательно, для существования решений правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, что задается условием $g(x) \ge 0$. При выполнении этого условия обе части уравнения неотрицательны, и их можно возвести в квадрат. Это приводит к уравнению $f(x) = (g(x))^2$. Условие $f(x) \ge 0$, необходимое для существования корня, в данной системе является избыточным, так как из уравнения $f(x) = (g(x))^2$ следует, что $f(x)$ как квадрат выражения всегда неотрицательно.

Ответ: Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$.

2. Теорема для уравнений вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$

Уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно одной из двух систем (обычно выбирают ту, в которой неравенство проще):

$$ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$

Пояснение: Обе части уравнения по определению неотрицательны, поэтому возведение обеих частей в квадрат является равносильным преобразованием и приводит к уравнению $f(x) = g(x)$. Однако необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ), которая требует, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$. Поскольку из уравнения $f(x) = g(x)$ следует, что если одно из этих условий выполнено, то автоматически выполняется и второе, достаточно включить в систему только одно из этих неравенств.

Ответ: Уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ (или системе с условием $g(x) \ge 0$).

3. Теорема для уравнений с корнем нечетной степени

Уравнение вида $\sqrt[2n+1]{f(x)} = g(x)$, где $n \in \mathbb{N}$, равносильно уравнению:

$$ f(x) = (g(x))^{2n+1} $$

Пояснение: В отличие от корня четной степени, корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения и сам может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль). Поэтому возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием и не требует никаких дополнительных условий.

Аналогично, уравнение $\sqrt[2n+1]{f(x)} = \sqrt[2n+1]{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Ответ: Уравнение $\sqrt[2n+1]{f(x)} = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = (g(x))^{2n+1}$.

16.1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x} < \sqrt{x+1}$;

2) $\sqrt{x^2 - 3x + 1} > \sqrt{2x - 3}$;

3) $\sqrt{8-5x} \ge \sqrt{x^2 - 16}$;

4) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} < \sqrt{2x^2 - 3x + 1}$.

1) $\sqrt{x} < \sqrt{x+1}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

Поскольку обе части неравенства в ОДЗ являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{x})^2 < (\sqrt{x+1})^2$

$x < x+1$

$0 < 1$

Полученное неравенство $0 < 1$ является верным для любого значения $x$. Следовательно, решением исходного неравенства являются все значения $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) $\sqrt{x^2 - 3x + 1} > \sqrt{2x - 3}$

Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 1 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем: $2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

Для решения первого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$. Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так как парабола $y = x^2 - 3x + 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 3x + 1 \ge 0$ выполняется при $x \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ или $x \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь найдем пересечение полученных решений. Учитывая, что $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.38$ и $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.62$, ОДЗ определяется пересечением множеств $[1.5, +\infty)$ и $(-\infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{3+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

Возведем обе части исходного неравенства в квадрат:

$x^2 - 3x + 1 > 2x - 3$

$x^2 - 5x + 4 > 0$

Корнями уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Решением неравенства $x^2 - 5x + 4 > 0$ является $x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in [\frac{3+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$. Так как $\frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2.62$, пересечение дает $x > 4$.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

3) $\sqrt{8 - 5x} \ge \sqrt{x^2 - 16}$

Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$\begin{cases} 8 - 5x \ge 0 \\ x^2 - 16 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $8 \ge 5x \implies x \le 1.6$.

Из второго неравенства: $x^2 \ge 16 \implies x \le -4$ или $x \ge 4$.

Пересечение этих условий ($x \le 1.6$ и ($x \le -4$ или $x \ge 4$)) дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -4]$.

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$8 - 5x \ge x^2 - 16$

$0 \ge x^2 + 5x - 24$

$x^2 + 5x - 24 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$ равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $x^2 + 5x - 24 \le 0$ находится между корнями: $x \in [-8, 3]$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-\infty, -4]$. Пересечение интервалов $[-8, 3]$ и $(-\infty, -4]$ дает итоговый результат.

Ответ: $x \in [-8, -4]$.

4) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} < \sqrt{2x^2 - 3x + 1}$

Найдем ОДЗ из системы:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \ge 0$, откуда $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 3x + 1 = (2x-1)(x-1) \ge 0$, откуда $x \in (-\infty, 0.5] \cup [1, +\infty)$.

Пересечение этих двух множеств дает ОДЗ: $x \in (-\infty, 0.5] \cup \{1\} \cup [2, +\infty)$.

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$x^2 - 3x + 2 < 2x^2 - 3x + 1$

Упростим неравенство:

$2 - 1 < 2x^2 - x^2$

$1 < x^2$

$x^2 - 1 > 0$

$(x-1)(x+1) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ.

1. Пересечение $(-\infty, -1)$ с ОДЗ $(-\infty, 0.5] \cup \{1\} \cup [2, +\infty)$ дает $(-\infty, -1)$.

2. Пересечение $(1, +\infty)$ с ОДЗ $(-\infty, 0.5] \cup \{1\} \cup [2, +\infty)$ дает $[2, +\infty)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [2, +\infty)$.