Страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \ge \sqrt{x^2 + 4x};$

2) $\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}.$

1) $\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \ge \sqrt{x^2 + 4x}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны:

$ \begin{cases} 2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x, \\ x^2 + 4x \ge 0. \end{cases} $

Условие $2x^2 + 6x - 3 \ge 0$ выполняется автоматически, так как левая часть больше или равна правой, которая в свою очередь неотрицательна.

Решим первое неравенство системы:

$2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x$

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 + 4x \ge 0$

$x(x + 4) \ge 0$

Корни уравнения $x(x+4)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x + 4) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общее решение системы:

$((-\infty, -3] \cup [1, \infty)) \cap ((-\infty, -4] \cup [0, \infty))$

Пересекая эти множества на числовой прямой, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$.

2) $\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 3x - 10 < x - 2, \\ x^2 + 3x - 10 \ge 0. \end{cases} $

Условие $x - 2 > 0$ выполняется автоматически, так как правая часть больше левой, которая неотрицательна.

Решим первое неравенство системы:

$x^2 + 3x - 10 < x - 2$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in (-4, 2)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 + 3x - 10 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$(-4, 2) \cap ((-\infty, -5] \cup [2, \infty))$

Множество решений первого неравенства — это интервал $(-4, 2)$. Множество решений второго неравенства — это объединение лучей $(-\infty, -5]$ и $[2, \infty)$. Эти множества не имеют общих точек, так как точка $x=2$ не входит в интервал $(-4, 2)$. Следовательно, пересечение этих множеств пустое.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

16.3. Решите неравенство:

1) $x > \sqrt{24 - 5x}$;

2) $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$;

3) $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$;

4) $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3$.

1) $x > \sqrt{24 - 5x}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 24 - 5x \ge 0 \\ x^2 > 24 - 5x \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $24 - 5x \ge 0 \implies -5x \ge -24 \implies x \le \frac{24}{5} \implies x \le 4.8$.

2. $x > 0$.

3. $x^2 > 24 - 5x \implies x^2 + 5x - 24 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8$, $x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 24$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 5x - 24 > 0$ выполняется при $x < -8$ или $x > 3$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств системы:

$ \begin{cases} x \le 4.8 \\ x > 0 \\ x \in (-\infty; -8) \cup (3; +\infty) \end{cases} $

Объединяя условия, получаем $3 < x \le 4.8$.

Ответ: $(3; 4.8]$.

2) $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 7 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \\ 2x + 7 \le (x + 2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$.

2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

3. $2x + 7 \le x^2 + 4x + 4 \implies 0 \le x^2 + 2x - 3$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \le -3$ или $x \ge 1$.

Найдем пересечение решений системы:

$ \begin{cases} x \ge -3.5 \\ x \ge -2 \\ x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \end{cases} $

Из первых двух неравенств следует, что $x \ge -2$. Пересекая это с решением третьего неравенства, получаем $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

3) $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$

Для существования решения левая часть должна быть положительной, так как правая часть неотрицательна. Если $3-x \le 0$, то неравенство не имеет решений. Поэтому неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 3 - x > 0 \\ (3 - x)^2 > (3\sqrt{1 - x^2})^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $1 - x^2 \ge 0 \implies (1 - x)(1 + x) \ge 0 \implies -1 \le x \le 1$.

2. $3 - x > 0 \implies x < 3$.

3. $9 - 6x + x^2 > 9(1 - x^2) \implies 9 - 6x + x^2 > 9 - 9x^2 \implies 10x^2 - 6x > 0 \implies 2x(5x - 3) > 0$.

Корни уравнения $2x(5x - 3) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{5}$.

Ветви параболы $y = 10x^2 - 6x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x < 0$ или $x > \frac{3}{5}$.

Найдем пересечение решений системы:

$ \begin{cases} x \in [-1; 1] \\ x < 3 \\ x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{5}; +\infty) \end{cases} $

Объединение первых двух условий дает $x \in [-1; 1]$. Пересекая этот интервал с решением третьего неравенства, получаем $x \in [-1; 0) \cup (\frac{3}{5}; 1]$.

Ответ: $[-1; 0) \cup (\frac{3}{5}; 1]$.

4) $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 7x - x^2 - 6 \ge 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ 7x - x^2 - 6 < (2x + 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $7x - x^2 - 6 \ge 0 \implies x^2 - 7x + 6 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $1 \le x \le 6$.

2. $2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.

3. $7x - x^2 - 6 < 4x^2 + 12x + 9 \implies 0 < 5x^2 + 5x + 15 \implies x^2 + x + 3 > 0$.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + x + 3 = 0$: $D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 + x + 3$ всегда больше нуля. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных $x$.

Найдем пересечение решений системы:

$ \begin{cases} x \in [1; 6] \\ x > -1.5 \\ x \in (-\infty; +\infty) \end{cases} $

Общим решением является интервал $[1; 6]$.

Ответ: $[1; 6]$.

16.4. Решите неравенство:

1) $\sqrt{9x-20} < x$;

2) $\sqrt{x+61} < x+5$;

3) $2\sqrt{4-x^2} \le x+4$;

4) $\sqrt{x^2+4x-5} < x-3$.

1) $\sqrt{9x - 20} < x$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

В данном случае $f(x) = 9x - 20$ и $g(x) = x$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} 9x - 20 \ge 0 \\ x > 0 \\ 9x - 20 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $9x - 20 \ge 0 \implies 9x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{9}$.

2) $x > 0$.

3) $9x - 20 < x^2 \implies x^2 - 9x + 20 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условия $x \ge \frac{20}{9}$ и $x > 0$ вместе дают $x \ge \frac{20}{9}$.
Теперь найдем пересечение этого множества с решением третьего неравенства: $[\frac{20}{9}; +\infty) \cap ((-\infty; 4) \cup (5; +\infty))$.
Получаем $x \in [\frac{20}{9}; 4) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $[\frac{20}{9}; 4) \cup (5; +\infty)$.

2) $\sqrt{x + 61} < x + 5$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x + 61 \ge 0 \\ x + 5 > 0 \\ x + 61 < (x + 5)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $x + 61 \ge 0 \implies x \ge -61$.

2) $x + 5 > 0 \implies x > -5$.

3) $x + 61 < x^2 + 10x + 25 \implies x^2 + 9x - 36 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 36 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-9 - 15}{2} = -12$, $x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений. Из первых двух неравенств следует, что $x > -5$.
Пересекаем это с решением третьего неравенства: $(-5; +\infty) \cap ((-\infty; -12) \cup (3; +\infty))$.
Получаем $x \in (3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

3) $2\sqrt{4 - x^2} \le x + 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$4 - x^2 \ge 0 \implies (2 - x)(2 + x) \ge 0 \implies x \in [-2; 2]$.

На ОДЗ $x \in [-2; 2]$ правая часть неравенства $x+4$ всегда положительна, так как наименьшее значение $x+4$ равно $-2+4=2$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$(2\sqrt{4 - x^2})^2 \le (x + 4)^2$

$4(4 - x^2) \le x^2 + 8x + 16$

$16 - 4x^2 \le x^2 + 8x + 16$

$0 \le 5x^2 + 8x$

$x(5x + 8) \ge 0$

Корни уравнения $x(5x + 8) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{8}{5} = -1.6$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -8/5] \cup [0; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [-2; 2]$:
$((-\infty; -8/5] \cup [0; +\infty)) \cap [-2; 2] = [-2; -8/5] \cup [0; 2]$.

Ответ: $[-2; -8/5] \cup [0; 2]$.

4) $\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 + 4x - 5 < (x - 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$.

2) $x - 3 > 0 \implies x > 3$.

3) $x^2 + 4x - 5 < x^2 - 6x + 9 \implies 10x < 14 \implies x < 1.4$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств. Необходимо найти значения $x$, удовлетворяющие одновременно условиям $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$, $x > 3$ и $x < 1.4$.
Условия $x > 3$ и $x < 1.4$ несовместны, так как не существует числа, которое одновременно больше 3 и меньше 1.4. Следовательно, их пересечение — пустое множество.

Поскольку пересечение решений хотя бы двух неравенств системы пусто, то вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

16.5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+7} \geq x+1;$

2) $\sqrt{x^2-2x} \geq 4-x;$

3) $\sqrt{x^2+x-2} > x;$

4) $\sqrt{-x^2+6x-5} > 8-2x.$

1) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x+7} \geq x+1$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
Первая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области определения подкоренного выражения, так как квадратный корень (если существует) всегда неотрицателен.
$\begin{cases} x+1 < 0 \\ x+7 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -1 \\ x \geq -7 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [-7, -1)$.
Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.
$\begin{cases} x+1 \geq 0 \\ x+7 \geq (x+1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -1 \\ x+7 \geq x^2 + 2x + 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -1 \\ 0 \geq x^2 + x - 6 \end{cases}$
Решим квадратное неравенство $x^2 + x - 6 \leq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Так как ветви параболы $y=x^2+x-6$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-3, 2]$.
С учетом условия $x \geq -1$, получаем решение второй системы: $x \in [-1, 2]$.
Объединим решения обеих систем: $[-7, -1) \cup [-1, 2] = [-7, 2]$.
Ответ: $[-7, 2]$.

2) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x^2-2x} \geq 4-x$.
Данное неравенство также равносильно совокупности двух систем:
Первая система (правая часть отрицательна):
$\begin{cases} 4-x < 0 \\ x^2-2x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x(x-2) \geq 0 \end{cases}$
Решением неравенства $x(x-2) \geq 0$ является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
Пересекая это решение с условием $x > 4$, получаем $x \in (4, +\infty)$.
Вторая система (правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} 4-x \geq 0 \\ x^2-2x \geq (4-x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ x^2-2x \geq 16 - 8x + x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ 6x \geq 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ x \geq \frac{16}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ x \geq \frac{8}{3} \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [\frac{8}{3}, 4]$.
Объединим решения обеих систем: $[\frac{8}{3}, 4] \cup (4, +\infty) = [\frac{8}{3}, +\infty)$.
Ответ: $[\frac{8}{3}, +\infty)$.

3) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x^2+x-2} > x$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
Первая система (правая часть отрицательна):
$\begin{cases} x < 0 \\ x^2+x-2 \geq 0 \end{cases}$
Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1 = -2, x_2 = 1$. Решением неравенства $x^2+x-2 \geq 0$ является $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
Пересекая это решение с условием $x < 0$, получаем $x \in (-\infty, -2]$.
Вторая система (правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} x \geq 0 \\ x^2+x-2 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0 \\ x > 2 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in (2, +\infty)$.
Объединим решения обеих систем: $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$.

4) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{-x^2+6x-5} > 8-2x$.
Данное неравенство также равносильно совокупности двух систем:
Первая система (правая часть отрицательна):
$\begin{cases} 8-2x < 0 \\ -x^2+6x-5 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8 < 2x \\ x^2-6x+5 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ (x-1)(x-5) \leq 0 \end{cases}$
Решением неравенства $(x-1)(x-5) \leq 0$ является промежуток $[1, 5]$.
Пересекая это решение с условием $x > 4$, получаем $x \in (4, 5]$.
Вторая система (правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} 8-2x \geq 0 \\ -x^2+6x-5 > (8-2x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ -x^2+6x-5 > 64-32x+4x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 4 \\ 0 > 5x^2-38x+69 \end{cases}$
Решим неравенство $5x^2-38x+69 < 0$. Найдем корни уравнения $5x^2-38x+69=0$.
Дискриминант $D = (-38)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 69 = 1444 - 1380 = 64$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{38 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{38 \pm 8}{10}$. $x_1 = \frac{30}{10}=3$, $x_2 = \frac{46}{10}=4.6$.
Решением неравенства $5x^2-38x+69 < 0$ является интервал $(3, 4.6)$.
С учетом условия $x \leq 4$, получаем решение второй системы: $x \in (3, 4]$.
Объединим решения обеих систем: $(3, 4] \cup (4, 5] = (3, 5]$.
Ответ: $(3, 5]$.

16.6. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x + 2} > x;$

2) $\sqrt{2x + 14} > x + 3;$

3) $\sqrt{x^2 - 5x - 24} \ge x + 2;$

4) $\sqrt{x^2 + 4x - 5} > x - 3.$

1) $\sqrt{x+2} > x$

Данное иррациональное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Первая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства отрицательна. В этом случае неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения, так как неотрицательное число (квадратный корень) всегда больше отрицательного.

$\begin{cases} x < 0, \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ x \ge -2 \end{cases} \implies x \in [-2, 0)$.

Вторая система рассматривает случай, когда правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.

$\begin{cases} x \ge 0, \\ x+2 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2-x-2 < 0 \end{cases}$

Для решения квадратного неравенства $x^2-x-2 < 0$ найдем корни уравнения $x^2-x-2=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 2)$.

Пересечение этого интервала с условием $x \ge 0$ дает: $x \in [0, 2)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем итоговый ответ:

$[-2, 0) \cup [0, 2) = [-2, 2)$.

Ответ: $x \in [-2, 2)$.

2) $\sqrt{2x+14} > x+3$

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда правая часть отрицательна:

$\begin{cases} x+3 < 0, \\ 2x+14 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3, \\ 2x \ge -14 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3, \\ x \ge -7 \end{cases} \implies x \in [-7, -3)$.

б) Случай, когда правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} x+3 \ge 0, \\ 2x+14 > (x+3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3, \\ 2x+14 > x^2+6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3, \\ x^2+4x-5 < 0 \end{cases}$

Корни уравнения $x^2+4x-5=0$ это $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$. Неравенство $x^2+4x-5 < 0$ выполняется при $x \in (-5, 1)$.

Пересечение этого интервала с условием $x \ge -3$ дает: $x \in [-3, 1)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем:

$[-7, -3) \cup [-3, 1) = [-7, 1)$.

Ответ: $x \in [-7, 1)$.

3) $\sqrt{x^2-5x-24} \ge x+2$

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда правая часть отрицательна:

$\begin{cases} x+2 < 0, \\ x^2-5x-24 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим $x^2-5x-24 \ge 0$. Корни уравнения $x^2-5x-24=0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [8, \infty)$.

Теперь решим систему: $\begin{cases} x < -2, \\ x \in (-\infty, -3] \cup [8, \infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty, -3]$.

б) Случай, когда правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} x+2 \ge 0, \\ x^2-5x-24 \ge (x+2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2, \\ x^2-5x-24 \ge x^2+4x+4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2, \\ -9x \ge 28 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2, \\ x \le -\frac{28}{9} \end{cases}$

Так как $-\frac{28}{9} \approx -3.11$, а $-2 > -3.11$, у этой системы нет решений.

Объединяя решения обеих систем (решение первой системы и пустое множество), получаем:

$(-\infty, -3] \cup \emptyset = (-\infty, -3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3]$.

4) $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3$

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда правая часть отрицательна:

$\begin{cases} x-3 < 0, \\ x^2+4x-5 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим $x^2+4x-5 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+4x-5=0$ это $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Теперь решим систему: $\begin{cases} x < 3, \\ x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty, -5] \cup [1, 3)$.

б) Случай, когда правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} x-3 \ge 0, \\ x^2+4x-5 > (x-3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3, \\ x^2+4x-5 > x^2-6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3, \\ 10x > 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3, \\ x > 1.4 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $x \ge 3$, или $x \in [3, \infty)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем:

$(-\infty, -5] \cup [1, 3) \cup [3, \infty) = (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

16.7. Решите неравенство:

1) $(x + 10)\sqrt{x - 4} \leq 0;$

2) $(x + 2)\sqrt{(4 - x)(5 - x)} \geq 0.$

1) $(x+10)\sqrt{x-4} \le 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

Теперь рассмотрим само неравенство. Произведение двух множителей $(x+10)$ и $\sqrt{x-4}$ должно быть меньше или равно нулю.

Множитель $\sqrt{x-4}$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$) в своей области определения.

Рассмотрим знак множителя $(x+10)$ на ОДЗ, то есть при $x \ge 4$.

Если $x \ge 4$, то $x+10 \ge 4+10$, следовательно $x+10 \ge 14$. Это означает, что множитель $(x+10)$ является строго положительным на всей области допустимых значений.

Итак, на ОДЗ мы имеем произведение положительного числа $(x+10)$ и неотрицательного числа $\sqrt{x-4}$. Такое произведение всегда будет неотрицательным, то есть $\ge 0$.

Исходное неравенство $(x+10)\sqrt{x-4} \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда левая часть равна нулю.

$(x+10)\sqrt{x-4} = 0$

Это равенство достигается, когда $\sqrt{x-4} = 0$, что дает $x-4=0$, то есть $x=4$.

Проверим значение $x=4$:

$(4+10)\sqrt{4-4} = 14 \cdot \sqrt{0} = 0$.

Неравенство $0 \le 0$ является верным.

Таким образом, единственное решение неравенства - это точка $x=4$.

Ответ: $\{4\}$.

2) $(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$(4-x)(5-x) \ge 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(4-x)(5-x)=0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y=(x-4)(x-5)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le 4$ или $x \ge 5$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, +\infty)$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: левая часть равна нулю.

$(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} = 0$

Это происходит, если $x+2=0$ или $\sqrt{(4-x)(5-x)}=0$.

Из $\sqrt{(4-x)(5-x)}=0$ следует, что $(4-x)(5-x)=0$, откуда $x=4$ или $x=5$. Оба эти значения принадлежат ОДЗ.

Из $x+2=0$ следует, что $x=-2$. Проверим, входит ли это значение в ОДЗ: $(4-(-2))(5-(-2)) = 6 \cdot 7 = 42 \ge 0$. Значение $x=-2$ принадлежит ОДЗ. При $x=-2$ левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $\ge 0$.

Таким образом, числа $\{-2, 4, 5\}$ являются решениями.

Случай 2: левая часть строго больше нуля.

$(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} > 0$

Поскольку $\sqrt{(4-x)(5-x)} > 0$ на своей области определения (кроме точек, где он равен нулю), для выполнения неравенства необходимо, чтобы и первый множитель был положителен. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x+2 > 0 \\ (4-x)(5-x) > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x > -2 \\ x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty) \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает решение $x \in (-2, 4) \cup (5, +\infty)$.

Теперь объединим решения, полученные в обоих случаях:

$\{-2, 4, 5\} \cup ((-2, 4) \cup (5, +\infty))$

Объединение дает множество: $[-2, 4] \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2, 4] \cup [5, +\infty)$.

16.8. Решите неравенство:

1) $(x-3)\sqrt{x^2+x-2} \ge 0;$

2) $(x^2-9)\sqrt{16-x^2} \ge 0.$

1) $(x-3)\sqrt{x^2+x-2} \ge 0$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) Случай, когда подкоренное выражение равно нулю. В этом случае все неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$.

$x^2+x-2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1$

Таким образом, $x = -2$ и $x = 1$ являются решениями неравенства.

б) Случай, когда подкоренное выражение строго больше нуля. В этом случае корень из него является положительным числом, и мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства.

$\begin{cases} x^2+x-2 > 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы: $x^2+x-2 > 0$. Корни мы уже нашли: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

Решим второе неравенство системы: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in ((-\infty; -2) \cup (1; \infty)) \cap [3; \infty)$. Пересечением является промежуток $[3; \infty)$.

Объединим решения, полученные в пунктах а) и б):

$\{-2, 1\} \cup [3; \infty)$

Ответ: $x \in \{-2, 1\} \cup [3; \infty)$.

2) $(x^2-9)\sqrt{16-x^2} \ge 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$16 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 16$

$-4 \le x \le 4$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-4; 4]$.

Решение исходного неравенства эквивалентно совокупности двух случаев на ОДЗ:

а) Случай, когда подкоренное выражение равно нулю. Это происходит, когда $16-x^2=0$, то есть при $x=4$ и $x=-4$. В этих точках неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=4$ и $x=-4$ являются решениями.

б) Случай, когда подкоренное выражение строго больше нуля, то есть $16-x^2 > 0$. Это соответствует интервалу $(-4; 4)$. На этом интервале множитель $\sqrt{16-x^2}$ положителен, и неравенство можно на него разделить, сохранив знак:

$x^2-9 \ge 0$

$x^2 \ge 9$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с интервалом, на котором мы его рассматривали, то есть $(-4; 4)$:

$((-\infty; -3] \cup [3; \infty)) \cap (-4; 4) = (-4; -3] \cup [3; 4)$.

Объединим решения, полученные в пунктах а) и б):

$\{-4, 4\} \cup ((-4; -3] \cup [3; 4)) = [-4; -3] \cup [3; 4]$.

Ответ: $x \in [-4; -3] \cup [3; 4]$.

16.9. Решите неравенство:

1) $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2} < 1;$

2) $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x} < 3;$

3) $\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10} \le \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9};$

4) $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16}{6-x} > 1.$

1) Решим неравенство $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2} < 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, +\infty)$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.
В этом случае мы можем умножить обе части неравенства на $x-2$, сохранив знак неравенства:
$\sqrt{2x-1} < x - 2$.
Поскольку левая часть неотрицательна, правая часть должна быть строго положительна: $x-2 > 0$, что выполняется при $x > 2$.
Возведем обе части в квадрат:
$2x - 1 < (x-2)^2$
$2x - 1 < x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 6x + 5 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=5$.
Решением неравенства $x^2 - 6x + 5 > 0$ является $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$.
Учитывая условие $x > 2$, получаем решение для этого случая: $x \in (5, +\infty)$.

Случай 2: $x - 2 < 0$. С учетом ОДЗ, это интервал $x \in [\frac{1}{2}, 2)$.
На этом интервале знаменатель $x-2$ отрицателен, а числитель $\sqrt{2x-1}$ неотрицателен.
Следовательно, вся дробь $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}$ является неположительной (меньше или равна нулю).
Любое неположительное число меньше 1. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из этого интервала.
Решение для этого случая: $x \in [\frac{1}{2}, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (5, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x} < 3$.

Найдем ОДЗ:
1. $1-4x^2 \ge 0 \implies 4x^2 \le 1 \implies x^2 \le \frac{1}{4} \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
2. $x \ne 0$.
ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x > 0$. С учетом ОДЗ, $x \in (0, \frac{1}{2}]$.
Умножим неравенство на $x$ (знак не меняется):
$1 - \sqrt{1-4x^2} < 3x$
$1 - 3x < \sqrt{1-4x^2}$.
Если $1-3x < 0$ (т.е. $x > \frac{1}{3}$), неравенство верно, так как слева отрицательное число, а справа неотрицательное. Это дает нам интервал $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.
Если $1-3x \ge 0$ (т.е. $x \le \frac{1}{3}$), обе части неотрицательны. С учетом рассматриваемого интервала, $x \in (0, \frac{1}{3}]$. Возводим в квадрат:
$(1-3x)^2 < 1-4x^2$
$1 - 6x + 9x^2 < 1 - 4x^2$
$13x^2 - 6x < 0$
$x(13x - 6) < 0$.
Решением является $x \in (0, \frac{6}{13})$.
Пересекая с $x \in (0, \frac{1}{3}]$, получаем $(0, \frac{1}{3}]$, так как $\frac{1}{3} < \frac{6}{13}$.
Объединяя решения для $x > 0$: $(0, \frac{1}{3}] \cup (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] = (0, \frac{1}{2}]$.

Случай 2: $x < 0$. С учетом ОДЗ, $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.
Умножим неравенство на $x$ (знак меняется на противоположный):
$1 - \sqrt{1-4x^2} > 3x$
$1 - 3x > \sqrt{1-4x^2}$.
При $x < 0$ левая часть $1-3x$ всегда положительна. Можно возвести в квадрат:
$(1-3x)^2 > 1-4x^2$
$1 - 6x + 9x^2 > 1 - 4x^2$
$13x^2 - 6x > 0$
$x(13x-6) > 0$.
Решением является $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{6}{13}, +\infty)$.
Учитывая, что $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$, получаем решение для этого случая: $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.

Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

3) Решим неравенство $\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10} \le \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9}$.

Найдем ОДЗ:
1. $8-2x-x^2 \ge 0 \implies x^2+2x-8 \le 0$. Корни $x^2+2x-8=0$ это $x_1=-4, x_2=2$. Значит, $x \in [-4, 2]$.
2. $x+10 \ne 0 \implies x \ne -10$.
3. $2x+9 \ne 0 \implies x \ne -4.5$.
ОДЗ: $x \in [-4, 2]$.

Перенесем все в левую часть:
$\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{x+10} - \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{2x+9} \le 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sqrt{8-2x-x^2} \left( \frac{1}{x+10} - \frac{1}{2x+9} \right) \le 0$
$\sqrt{8-2x-x^2} \left( \frac{2x+9 - (x+10)}{(x+10)(2x+9)} \right) \le 0$
$\sqrt{8-2x-x^2} \cdot \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \le 0$

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\sqrt{8-2x-x^2} = 0$.
Это происходит при $x=-4$ и $x=2$. Эти значения являются решениями неравенства.

Случай 2: $\sqrt{8-2x-x^2} > 0$, что соответствует $x \in (-4, 2)$.
В этом случае множитель $\sqrt{8-2x-x^2}$ положителен, и на него можно разделить, не меняя знака неравенства:
$\frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \le 0$
Для $x \in (-4, 2)$ знаменатели $x+10$ и $2x+9$ всегда положительны. Следовательно, знаменатель дроби $(x+10)(2x+9)$ положителен.
Неравенство сводится к $x-1 \le 0 \implies x \le 1$.
Пересекая с условием $x \in (-4, 2)$, получаем $x \in (-4, 1]$.

Объединяя решения из обоих случаев: $\{ -4, 2 \} \cup (-4, 1] = [-4, 1] \cup \{2\}$.
Ответ: $x \in [-4, 1] \cup \{2\}$.

4) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16}{6-x} > 1$.

Найдем ОДЗ:
1. $x^2-3x-4 \ge 0$. Корни $x^2-3x-4=0$ это $x_1=-1, x_2=4$. Значит, $x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$.
2. $6-x \ne 0 \implies x \ne 6$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6) \cup (6, +\infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $6-x > 0 \implies x < 6$. С учетом ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6)$.
Умножим на $6-x$ (знак не меняется):
$\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16 > 6-x$
$\sqrt{x^2-3x-4} > 2x-10$
Если $2x-10 < 0$ (т.е. $x < 5$), то неравенство выполняется для всех $x$ из области определения, так как слева неотрицательное число, а справа отрицательное. Пересекая $x<5$ с $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6)$, получаем $(-\infty, -1] \cup [4, 5)$.
Если $2x-10 \ge 0$ (т.е. $x \ge 5$), обе части неотрицательны. С учетом рассматриваемого интервала, $x \in [5, 6)$. Возводим в квадрат:
$x^2-3x-4 > (2x-10)^2$
$x^2-3x-4 > 4x^2-40x+100$
$3x^2-37x+104 < 0$
Корни уравнения $3x^2-37x+104=0$ равны $x_1=\frac{37-11}{6}=\frac{13}{3}$ и $x_2=\frac{37+11}{6}=8$.
Решение $3x^2-37x+104 < 0$ есть $x \in (\frac{13}{3}, 8)$.
Пересекая с $x \in [5, 6)$, получаем $[5, 6)$.
Объединяя решения для случая 1: $((-\infty, -1] \cup [4, 5)) \cup [5, 6) = (-\infty, -1] \cup [4, 6)$.

Случай 2: $6-x < 0 \implies x > 6$. С учетом ОДЗ: $x \in (6, +\infty)$.
Умножим на $6-x$ (знак меняется на противоположный):
$\sqrt{x^2-3x-4}-3x+16 < 6-x$
$\sqrt{x^2-3x-4} < 2x-10$
На интервале $x > 6$ правая часть $2x-10$ положительна. Можно возвести в квадрат:
$x^2-3x-4 < (2x-10)^2$
$3x^2-37x+104 > 0$
Решение этого неравенства $x \in (-\infty, \frac{13}{3}) \cup (8, +\infty)$.
Пересекая с $x \in (6, +\infty)$, получаем $x \in (8, +\infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, 6) \cup (8, +\infty)$.

16.10. Решите неравенство:

1) $ (x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > x^2 - 1; $

2) $ \frac{\sqrt{x + 20}}{x} - 1 < 0; $

3) $ \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x - 7} \le \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}; $

4) $ \frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} \le 1. $

1) $(x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > x^2 - 1$

Заметим, что правая часть неравенства раскладывается на множители: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Перепишем неравенство: $(x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > (x - 1)(x + 1)$ Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x + 1)$: $(x + 1)\sqrt{x^2 + 1} - (x - 1)(x + 1) > 0$ $(x + 1)(\sqrt{x^2 + 1} - (x - 1)) > 0$ $(x + 1)(\sqrt{x^2 + 1} - x + 1) > 0$

Рассмотрим второй множитель: $\sqrt{x^2 + 1} - x + 1$. Сравним $\sqrt{x^2 + 1}$ и $x - 1$. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $\sqrt{x^2 + 1} > 0 > x - 1$, следовательно, $\sqrt{x^2 + 1} - x + 1 > 0$. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то обе части $x-1$ и $\sqrt{x^2+1}$ неотрицательны. Можно сравнить их квадраты: $(\sqrt{x^2 + 1})^2 = x^2 + 1$ $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ Сравним $x^2 + 1$ и $x^2 - 2x + 1$. $x^2 + 1 - (x^2 - 2x + 1) = 2x$. При $x \ge 1$, $2x > 0$, значит $x^2 + 1 > x^2 - 2x + 1$, и $\sqrt{x^2 + 1} > x - 1$. Таким образом, выражение $\sqrt{x^2 + 1} - x + 1$ положительно при всех действительных $x$.

Поскольку второй множитель всегда положителен, знак всего произведения зависит только от знака первого множителя $(x + 1)$. Неравенство $(x + 1)(\sqrt{x^2 + 1} - x + 1) > 0$ равносильно неравенству $x + 1 > 0$. Отсюда $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) $\frac{\sqrt{x + 20}}{x} - 1 < 0$

Перенесем 1 в правую часть: $\frac{\sqrt{x + 20}}{x} < 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 20 \ge 0 \Rightarrow x \ge -20$. 2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$. ОДЗ: $x \in [-20; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{\sqrt{x + 20} - x}{x} < 0$ Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль знаменателя: $x = 0$. Нули числителя: $\sqrt{x + 20} - x = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 20} = x$. Для этого уравнения необходимо условие $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $x + 20 = x^2$ $x^2 - x - 20 = 0$ По теореме Виета корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x = 5$.

Отметим на числовой прямой точки $x=-20$ (начало ОДЗ), $x=0$ и $x=5$ и определим знаки выражения $\frac{\sqrt{x + 20} - x}{x}$ на полученных интервалах, входящих в ОДЗ: $[-20; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$.

• При $x \in [-20; 0)$: Возьмем $x = -1$. $\frac{\sqrt{19} - (-1)}{-1} = \frac{\sqrt{19} + 1}{-1} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (0; 5)$: Возьмем $x = 1$. $\frac{\sqrt{21} - 1}{1} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (5; +\infty)$: Возьмем $x = 29$. $\frac{\sqrt{49} - 29}{29} = \frac{7 - 29}{29} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in [-20; 0) \cup (5; +\infty)$.

3) $\frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x - 7} \le \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}$

Найдем ОДЗ: $12 - x - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 \le 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-4; 3]$. Также знаменатели не равны нулю: $2x - 7 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3.5$ и $x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5$. Эти точки не входят в найденный отрезок. ОДЗ: $x \in [-4; 3]$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель: $\sqrt{12 - x - x^2} \left( \frac{1}{2x - 7} - \frac{1}{x - 5} \right) \le 0$ $\sqrt{12 - x - x^2} \left( \frac{(x - 5) - (2x - 7)}{(2x - 7)(x - 5)} \right) \le 0$ $\sqrt{12 - x - x^2} \left( \frac{-x + 2}{(2x - 7)(x - 5)} \right) \le 0$

Рассмотрим два случая: 1. $\sqrt{12 - x - x^2} = 0$. Это происходит при $x = -4$ и $x = 3$. В этих точках неравенство $0 \le 0$ выполняется, значит, они являются решениями. 2. $\sqrt{12 - x - x^2} > 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{12 - x - x^2}$: $\frac{-x + 2}{(2x - 7)(x - 5)} \le 0$ На ОДЗ $x \in [-4; 3]$ имеем: $2x - 7$: $2(-4) - 7 = -15$, $2(3) - 7 = -1$. Значит, $2x-7 < 0$ на всем отрезке. $x - 5$: $(-4) - 5 = -9$, $3 - 5 = -2$. Значит, $x-5 < 0$ на всем отрезке. Тогда знаменатель $(2x - 7)(x - 5)$ всегда положителен на ОДЗ. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя: $-x + 2 \le 0 \Rightarrow 2 \le x \Rightarrow x \ge 2$.

Объединим результаты с учетом ОДЗ: Из случая 1: $x = -4$ и $x = 3$. Из случая 2: $x \ge 2$ и $x \in (-4; 3)$, что дает $x \in [2; 3)$. Общее решение: $\{-4\} \cup [2; 3) \cup \{3\} = \{-4\} \cup [2; 3]$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [2; 3]$.

4) $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} \le 1$

Найдем ОДЗ: 1. $x^2 + x - 6 \ge 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$. 2. $x + 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -3] \cup [2; +\infty)$.

Преобразуем неравенство: $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} - 1 \le 0$ $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13 - (x + 5)}{x + 5} \le 0$ $\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8}{x + 5} \le 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$. С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in (-5; -3] \cup [2; +\infty)$. В этом случае неравенство равносильно: $\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8 \le 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 + x - 6} \le -2x - 8$. Для существования решений необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $-2x - 8 \ge 0 \Rightarrow -2x \ge 8 \Rightarrow x \le -4$. Пересекая с условиями этого случая, получаем $x \in (-5; -4]$. На этом промежутке можно возвести обе части в квадрат: $x^2 + x - 6 \le (-2x - 8)^2$ $x^2 + x - 6 \le 4x^2 + 32x + 64$ $3x^2 + 31x + 70 \ge 0$. Корни уравнения $3x^2 + 31x + 70 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -10/3$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -7] \cup [-10/3; +\infty)$. Найдем пересечение этого решения с промежутком $x \in (-5; -4]$: $((-\infty; -7] \cup [-10/3; +\infty)) \cap (-5; -4] = \emptyset$. В этом случае решений нет.

Случай 2: $x + 5 < 0 \Rightarrow x < -5$. С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in (-\infty; -5)$. В этом случае знак неравенства меняется на противоположный: $\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 + x - 6} \ge -2x - 8$. При $x < -5$ правая часть $-2x - 8$ положительна (т.к. $x < -4$), поэтому можно возвести обе части в квадрат: $x^2 + x - 6 \ge 4x^2 + 32x + 64$ $3x^2 + 31x + 70 \le 0$. Решение этого квадратного неравенства: $x \in [-7; -10/3]$. Найдем пересечение этого решения с условием случая $x < -5$: $[-7; -10/3] \cap (-\infty; -5) = [-7; -5)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in [-7; -5)$.

16.11. Решите неравенство:

1) $3\sqrt{x} - \sqrt{x+3} > 1$;

2) $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$.

1) $3\sqrt{x}-\sqrt{x+3} > 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} $ $ \implies $ $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -3 \end{cases} $ $ \implies x \ge 0$.

ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

Перепишем неравенство, уединив один из корней:

$3\sqrt{x} - 1 > \sqrt{x+3}$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 3\sqrt{x} - 1 > 0 \\ (3\sqrt{x} - 1)^2 > (\sqrt{x+3})^2 \end{cases} $

Решим эту систему:

1. $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Это условие уже учтено в ОДЗ.

2. $3\sqrt{x} - 1 > 0 \implies 3\sqrt{x} > 1 \implies \sqrt{x} > \frac{1}{3}$. Возводя в квадрат, получаем $x > \frac{1}{9}$.

3. $(3\sqrt{x} - 1)^2 > x+3$

$9x - 6\sqrt{x} + 1 > x + 3$

$8x - 2 > 6\sqrt{x}$

$4x - 1 > 3\sqrt{x}$

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 1/9$, то $t > 1/3$. Неравенство принимает вид:

$4t^2 - 1 > 3t$

$4t^2 - 3t - 1 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 - 3t - 1 = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{3-5}{8} = -\frac{1}{4}$, $t_2 = \frac{3+5}{8} = 1$.

Решением неравенства $4t^2 - 3t - 1 > 0$ является $t \in (-\infty, -1/4) \cup (1, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 1/3$, получаем $t > 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\sqrt{x} > 1 \implies x > 1$.

Объединим все найденные условия: $x \ge 0$ (ОДЗ), $x > 1/9$ и $x > 1$. Пересечением этих множеств является $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} $ $ \implies $ $ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} $ $ \implies x \ge 2$.

ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2})^2$

$x+3 < (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-2)} + (x-2)$

$x+3 < 2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

$6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака левой части.

Случай 1: Левая часть отрицательна.

$6 - x < 0 \implies x > 6$.

В этом случае неравенство выполняется, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного (значение корня). Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), получаем, что все $x > 6$ являются решением.

Случай 2: Левая часть неотрицательна.

$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(6 - x)^2 < (2\sqrt{x^2 - 3x + 2})^2$

$36 - 12x + x^2 < 4(x^2 - 3x + 2)$

$36 - 12x + x^2 < 4x^2 - 12x + 8$

$36 < 3x^2 + 8$

$28 < 3x^2$

$x^2 > \frac{28}{3}$

Решением этого неравенства является $x < -\sqrt{\frac{28}{3}}$ или $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$.

Теперь нужно найти пересечение полученного решения с условиями для этого случая: $x \ge 2$ (ОДЗ) и $x \le 6$.

Поскольку $\sqrt{\frac{28}{3}} = \sqrt{9\frac{1}{3}}$, то $\sqrt{9} < \sqrt{\frac{28}{3}} < \sqrt{16}$, т.е. $3 < \sqrt{\frac{28}{3}} < 4$.

Решение $x < -\sqrt{\frac{28}{3}}$ не удовлетворяет ОДЗ.

Остается найти пересечение $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$, $x \ge 2$ и $x \le 6$. Так как $2 < \sqrt{\frac{28}{3}}$, то решением для второго случая будет интервал $(\sqrt{\frac{28}{3}}, 6]$.

Объединим решения из обоих случаев:

Случай 1: $x \in (6, +\infty)$.

Случай 2: $x \in (\sqrt{\frac{28}{3}}, 6]$.

Объединение этих двух множеств дает $x \in (\sqrt{\frac{28}{3}}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\sqrt{\frac{28}{3}}, +\infty)$.