Номер 16.4, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.4. Решите неравенство:

1) $\sqrt{9x-20} < x$;

2) $\sqrt{x+61} < x+5$;

3) $2\sqrt{4-x^2} \le x+4$;

4) $\sqrt{x^2+4x-5} < x-3$.

1) $\sqrt{9x - 20} < x$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

В данном случае $f(x) = 9x - 20$ и $g(x) = x$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} 9x - 20 \ge 0 \\ x > 0 \\ 9x - 20 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $9x - 20 \ge 0 \implies 9x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{9}$.

2) $x > 0$.

3) $9x - 20 < x^2 \implies x^2 - 9x + 20 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условия $x \ge \frac{20}{9}$ и $x > 0$ вместе дают $x \ge \frac{20}{9}$.
Теперь найдем пересечение этого множества с решением третьего неравенства: $[\frac{20}{9}; +\infty) \cap ((-\infty; 4) \cup (5; +\infty))$.
Получаем $x \in [\frac{20}{9}; 4) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $[\frac{20}{9}; 4) \cup (5; +\infty)$.

2) $\sqrt{x + 61} < x + 5$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x + 61 \ge 0 \\ x + 5 > 0 \\ x + 61 < (x + 5)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $x + 61 \ge 0 \implies x \ge -61$.

2) $x + 5 > 0 \implies x > -5$.

3) $x + 61 < x^2 + 10x + 25 \implies x^2 + 9x - 36 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 36 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-9 - 15}{2} = -12$, $x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений. Из первых двух неравенств следует, что $x > -5$.
Пересекаем это с решением третьего неравенства: $(-5; +\infty) \cap ((-\infty; -12) \cup (3; +\infty))$.
Получаем $x \in (3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

3) $2\sqrt{4 - x^2} \le x + 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$4 - x^2 \ge 0 \implies (2 - x)(2 + x) \ge 0 \implies x \in [-2; 2]$.

На ОДЗ $x \in [-2; 2]$ правая часть неравенства $x+4$ всегда положительна, так как наименьшее значение $x+4$ равно $-2+4=2$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$(2\sqrt{4 - x^2})^2 \le (x + 4)^2$

$4(4 - x^2) \le x^2 + 8x + 16$

$16 - 4x^2 \le x^2 + 8x + 16$

$0 \le 5x^2 + 8x$

$x(5x + 8) \ge 0$

Корни уравнения $x(5x + 8) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{8}{5} = -1.6$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -8/5] \cup [0; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in [-2; 2]$:
$((-\infty; -8/5] \cup [0; +\infty)) \cap [-2; 2] = [-2; -8/5] \cup [0; 2]$.

Ответ: $[-2; -8/5] \cup [0; 2]$.

4) $\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 + 4x - 5 < (x - 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$.

2) $x - 3 > 0 \implies x > 3$.

3) $x^2 + 4x - 5 < x^2 - 6x + 9 \implies 10x < 14 \implies x < 1.4$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств. Необходимо найти значения $x$, удовлетворяющие одновременно условиям $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$, $x > 3$ и $x < 1.4$.
Условия $x > 3$ и $x < 1.4$ несовместны, так как не существует числа, которое одновременно больше 3 и меньше 1.4. Следовательно, их пересечение — пустое множество.

Поскольку пересечение решений хотя бы двух неравенств системы пусто, то вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.