Номер 15.21, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.21. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x;$

2) $(\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 10} - 4) = x.$

1) $\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
1. $2x^2 + 3x + 5 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 + 3x + 5$ положительно при любых значениях $x$.
2. $2x^2 - 3x + 5 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 - 3x + 5$ также положительно при любых значениях $x$.
Левая часть уравнения является суммой двух арифметических квадратных корней, поэтому она неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:
$3x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Для решения уравнения введем замены:
Пусть $a = \sqrt{2x^2 + 3x + 5}$ и $b = \sqrt{2x^2 - 3x + 5}$. Заметим, что $a > 0$ и $b > 0$.
Тогда исходное уравнение примет вид:
$a + b = 3x$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2$ и $b^2$:
$a^2 - b^2 = (2x^2 + 3x + 5) - (2x^2 - 3x + 5) = 2x^2 + 3x + 5 - 2x^2 + 3x - 5 = 6x$.
С другой стороны, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставим известные нам выражения:
$(a-b)(3x) = 6x$.

Если $x=0$, то исходное уравнение принимает вид $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 0$, или $2\sqrt{5} = 0$, что неверно. Значит, $x \ne 0$.
Так как $x \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения $(a-b)(3x) = 6x$ на $3x$:
$a-b = \frac{6x}{3x} = 2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} a + b = 3x \\ a - b = 2 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$2a = 3x + 2 \implies a = \frac{3x+2}{2}$.
Вернемся к замене для $a$:
$\sqrt{2x^2 + 3x + 5} = \frac{3x+2}{2}$.
Так как $x \ge 0$, правая часть $\frac{3x+2}{2} > 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$2x^2 + 3x + 5 = \frac{(3x+2)^2}{4}$
$2x^2 + 3x + 5 = \frac{9x^2 + 12x + 4}{4}$
Умножим обе части на 4:
$8x^2 + 12x + 20 = 9x^2 + 12x + 4$
$9x^2 - 8x^2 = 20 - 4$
$x^2 = 16$
$x = 4$ или $x = -4$.

Согласно ОДЗ ($x \ge 0$), корень $x=-4$ не подходит.
Остается проверить корень $x=4$.
Подставим $x=4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{2(4^2) + 3(4) + 5} + \sqrt{2(4^2) - 3(4) + 5} = \sqrt{2 \cdot 16 + 12 + 5} + \sqrt{2 \cdot 16 - 12 + 5} = \sqrt{32 + 12 + 5} + \sqrt{32 - 12 + 5} = \sqrt{49} + \sqrt{25} = 7 + 5 = 12$.
Правая часть: $3x = 3 \cdot 4 = 12$.
$12 = 12$. Равенство верное, значит, $x=4$ является решением.

Ответ: $4$.

2) $(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+10}-4) = x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$x+10 \ge 0 \implies x \ge -10$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1$.

Заметим, что правую часть уравнения $x$ можно представить, используя выражение из первой скобки. Умножим и разделим левую часть первой скобки на сопряженное выражение:
$(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1) = (\sqrt{x+1})^2 - 1^2 = (x+1) - 1 = x$.
Подставим это выражение для $x$ в правую часть исходного уравнения:
$(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+10}-4) = (\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)$.

Множитель $(\sqrt{x+1}+1)$ всегда положителен, так как по ОДЗ $x \ge -1$, значит $\sqrt{x+1} \ge 0$, и $\sqrt{x+1}+1 \ge 1$.
Поскольку этот множитель не равен нулю, мы можем разделить на него обе части уравнения:
$\sqrt{x+10}-4 = \sqrt{x+1}-1$.

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать корни:
$\sqrt{x+10} - \sqrt{x+1} = 3$
$\sqrt{x+10} = \sqrt{x+1} + 3$.

Обе части этого уравнения неотрицательны (правая часть $\ge 3$). Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+10})^2 = (\sqrt{x+1}+3)^2$
$x+10 = (x+1) + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x+1} + 9$
$x+10 = x+1 + 6\sqrt{x+1} + 9$
$x+10 = x+10 + 6\sqrt{x+1}$
$0 = 6\sqrt{x+1}$
$\sqrt{x+1} = 0$
$x+1 = 0$
$x = -1$.

Найденный корень $x=-1$ принадлежит ОДЗ ($x \ge -1$).
Проверим его, подставив в исходное уравнение:
$(\sqrt{-1+1}+1)(\sqrt{-1+10}-4) = (\sqrt{0}+1)(\sqrt{9}-4) = (0+1)(3-4) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Правая часть: $x = -1$.
$-1 = -1$. Равенство верное, значит, $x=-1$ является решением.

Ответ: $-1$.