Номер 15.14, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.14. Решите уравнение

$\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{(x-5)^2} + \sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = 3.$

Для решения данного уравнения введем замену переменных. Пусть:

$a = \sqrt[3]{x+4}$

$b = \sqrt[3]{x-5}$

Тогда исходное уравнение можно переписать, используя новые переменные:

$\sqrt[3]{(x+4)^2} = (\sqrt[3]{x+4})^2 = a^2$

$\sqrt[3]{(x-5)^2} = (\sqrt[3]{x-5})^2 = b^2$

$\sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = \sqrt[3]{x+4} \cdot \sqrt[3]{x-5} = ab$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$a^2 + ab + b^2 = 3$

Теперь найдем еще одно соотношение между переменными $a$ и $b$. Возведем в куб выражения для $a$ и $b$:

$a^3 = x+4$

$b^3 = x-5$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:

$a^3 - b^3 = (x+4) - (x-5) = x+4-x+5 = 9$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a^2 + ab + b^2 = 3 \\ a^3 - b^3 = 9 \end{cases}$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ ко второму уравнению системы.

Подставим известные значения из системы в эту формулу:

$9 = (a-b) \cdot 3$

Отсюда следует, что:

$a-b = \frac{9}{3} = 3$

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$\begin{cases} a-b=3 \\ a^2+ab+b^2=3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$: $a = b+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(b+3)^2 + (b+3)b + b^2 = 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^2 + 6b + 9 + b^2 + 3b + b^2 = 3$

$3b^2 + 9b + 9 = 3$

$3b^2 + 9b + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$b^2 + 3b + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Следовательно, корни:

$b_1 = -1$

$b_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого значения $b$, используя формулу $a = b+3$.

1. Если $b_1 = -1$, то $a_1 = -1 + 3 = 2$.

2. Если $b_2 = -2$, то $a_2 = -2 + 3 = 1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(2, -1)$ и $(1, -2)$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $a=2, b=-1$.

Возьмем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$\sqrt[3]{x+4} = 2$

$x+4 = 2^3$

$x+4 = 8$

$x = 4$

Проверка по $b$: $\sqrt[3]{4-5} = \sqrt[3]{-1} = -1$, что соответствует значению $b_1$. Значит, $x=4$ — корень уравнения.

Случай 2: $a=1, b=-2$.

Возьмем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$\sqrt[3]{x+4} = 1$

$x+4 = 1^3$

$x+4 = 1$

$x = -3$

Проверка по $b$: $\sqrt[3]{-3-5} = \sqrt[3]{-8} = -2$, что соответствует значению $b_2$. Значит, $x=-3$ — также корень уравнения.

Ответ: $-3; 4$.