Номер 15.10, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.10. Решите уравнение $ \frac{x^2}{\sqrt{2x+5}} + \sqrt{2x+5} = 2x $.

Исходное уравнение:

$$ \frac{x^2}{\sqrt{2x + 5}} + \sqrt{2x + 5} = 2x $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$$ 2x + 5 > 0 \implies 2x > -5 \implies x > -2.5 $$

Левая часть уравнения является суммой двух положительных слагаемых, так как $x^2$ на ОДЗ не может быть равно нулю (если $x=0$, то $0 + \sqrt{5} = 0$, что неверно) и $\sqrt{2x+5} > 0$. Следовательно, левая часть всегда положительна. Это означает, что и правая часть уравнения должна быть положительной:

$$ 2x > 0 \implies x > 0 $$

Объединяя условия $x > -2.5$ и $x > 0$, получаем итоговую ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразуем уравнение.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $\sqrt{2x + 5}$, который в области допустимых значений всегда положителен. Это преобразование является равносильным.

$$ \frac{x^2}{\sqrt{2x + 5}} \cdot \sqrt{2x + 5} + \sqrt{2x + 5} \cdot \sqrt{2x + 5} = 2x \cdot \sqrt{2x + 5} $$

$$ x^2 + (2x + 5) = 2x \sqrt{2x + 5} $$

3. Решим полученное уравнение.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$$ x^2 - 2x \sqrt{2x + 5} + (2x + 5) = 0 $$

Заметим, что левая часть представляет собой формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = \sqrt{2x + 5}$.

Свернем выражение по этой формуле:

$$ (x - \sqrt{2x + 5})^2 = 0 $$

Это уравнение равносильно следующему:

$$ x - \sqrt{2x + 5} = 0 $$

$$ x = \sqrt{2x + 5} $$

4. Решим иррациональное уравнение.

Так как согласно ОДЗ $x > 0$, обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:

$$ x^2 = (\sqrt{2x + 5})^2 $$

$$ x^2 = 2x + 5 $$

Получили квадратное уравнение:

$$ x^2 - 2x - 5 = 0 $$

Найдем его корни через дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $$

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} $$

Мы получили два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{6}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{6}$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Наше ОДЗ: $x > 0$.

Корень $x_1 = 1 + \sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} > 0$, то $1 + \sqrt{6} > 1$, что удовлетворяет условию $x > 0$.

Корень $x_2 = 1 - \sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $1 - \sqrt{6} < 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1 + \sqrt{6}$.