Номер 15.16, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.16. Решите уравнение $ \sqrt[4]{18+5x} + \sqrt[4]{64-5x} = 4 $.

Данное уравнение: $\sqrt[4]{18 + 5x} + \sqrt[4]{64 - 5x} = 4$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как корни имеют четную степень (4), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$18 + 5x \ge 0 \implies 5x \ge -18 \implies x \ge -\frac{18}{5} \implies x \ge -3.6$.

$64 - 5x \ge 0 \implies 64 \ge 5x \implies x \le \frac{64}{5} \implies x \le 12.8$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3.6; 12.8]$.

Для решения уравнения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[4]{18 + 5x}$ и $b = \sqrt[4]{64 - 5x}$. Поскольку мы имеем дело с арифметическими корнями, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

С учетом замены исходное уравнение принимает вид:

$a + b = 4$.

Чтобы получить второе уравнение для связи переменных $a$ и $b$, возведем их в четвертую степень:

$a^4 = (\sqrt[4]{18 + 5x})^4 = 18 + 5x$

$b^4 = (\sqrt[4]{64 - 5x})^4 = 64 - 5x$

Теперь сложим эти два выражения, чтобы исключить $x$:

$a^4 + b^4 = (18 + 5x) + (64 - 5x) = 18 + 64 = 82$.

В результате мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ a^4 + b^4 = 82 \end{cases}$

Выразим $a^4 + b^4$ через элементарные симметрические многочлены $a+b$ и $ab$:

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 4^2 - 2ab = 16 - 2ab$.

$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (16 - 2ab)^2 - 2(ab)^2$.

Подставим это выражение в наше второе уравнение системы:

$(16 - 2ab)^2 - 2(ab)^2 = 82$.

Пусть $p = ab$. Тогда уравнение примет вид:

$(16 - 2p)^2 - 2p^2 = 82$

$256 - 64p + 4p^2 - 2p^2 = 82$

$2p^2 - 64p + 174 = 0$

Разделим обе части на 2:

$p^2 - 32p + 87 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $p$ с помощью дискриминанта:

$D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 87 = 1024 - 348 = 676 = 26^2$.

Корни уравнения:

$p_1 = \frac{32 - 26}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$p_2 = \frac{32 + 26}{2} = \frac{58}{2} = 29$.

Теперь рассмотрим два случая для $ab$.

1. Если $ab = 29$. Учитывая, что $a+b=4$, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 29 = 0$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 16 - 116 = -100 < 0$, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Этот случай не дает решений.

2. Если $ab = 3$. Учитывая, что $a+b=4$, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. Это уравнение можно разложить на множители $(t-1)(t-3)=0$, откуда $t_1=1$ и $t_2=3$. Таким образом, возможны две пары значений для $(a, b)$: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Вернемся к переменной $x$, рассмотрев обе возможные пары.

Первый вариант: $a=1, b=3$.

$\sqrt[4]{18 + 5x} = 1 \implies 18 + 5x = 1^4 \implies 18 + 5x = 1 \implies 5x = -17 \implies x = -\frac{17}{5} = -3.4$.

Проверим для $b$: $\sqrt[4]{64 - 5(-\frac{17}{5})} = \sqrt[4]{64+17} = \sqrt[4]{81} = 3$. Все верно. Корень $x=-3.4$ входит в ОДЗ $[-3.6; 12.8]$.

Второй вариант: $a=3, b=1$.

$\sqrt[4]{18 + 5x} = 3 \implies 18 + 5x = 3^4 \implies 18 + 5x = 81 \implies 5x = 63 \implies x = \frac{63}{5} = 12.6$.

Проверим для $b$: $\sqrt[4]{64 - 5(\frac{63}{5})} = \sqrt[4]{64-63} = \sqrt[4]{1} = 1$. Все верно. Корень $x=12.6$ входит в ОДЗ $[-3.6; 12.8]$.

Таким образом, уравнение имеет два решения.

Ответ: $-\frac{17}{5}; \frac{63}{5}$.