Номер 15.15, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.15. Решите уравнение $\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2$.

Для решения уравнения $\sqrt[4]{x+8} - \sqrt[4]{x-8} = 2$ выполним следующие шаги.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Поскольку в уравнении присутствуют корни четвертой (четной) степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ x-8 \ge 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \ge -8 \\ x \ge 8 \end{cases} \implies x \ge 8$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [8, +\infty)$.

2. Введем замену переменных

Пусть $a = \sqrt[4]{x+8}$ и $b = \sqrt[4]{x-8}$.

Заметим, что по определению арифметического корня $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

С учетом замены исходное уравнение примет вид:

$a - b = 2$

3. Составим и решим систему уравнений

Чтобы получить второе уравнение для связи переменных $a$ и $b$, возведем их в четвертую степень:

$a^4 = x+8$
$b^4 = x-8$

Вычтем второе равенство из первого:

$a^4 - b^4 = (x+8) - (x-8) = 16$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

$\begin{cases} a - b = 2 \\ a^4 - b^4 = 16 \end{cases}$

Разложим левую часть второго уравнения по формуле разности квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2) = 16$

Подставим $a-b=2$ из первого уравнения:

$2(a+b)(a^2+b^2) = 16$

$(a+b)(a^2+b^2) = 8$

Из первого уравнения системы выразим $a = b+2$ и подставим в полученное уравнение:

$((b+2)+b)((b+2)^2+b^2) = 8$

$(2b+2)(b^2+4b+4+b^2) = 8$

$2(b+1)(2b^2+4b+4) = 8$

$4(b+1)(b^2+2b+2) = 8$

$(b+1)(b^2+2b+2) = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^3 + 2b^2 + 2b + b^2 + 2b + 2 = 2$

$b^3 + 3b^2 + 4b = 0$

$b(b^2 + 3b + 4) = 0$

Это уравнение дает два случая:

1) $b=0$.

2) $b^2 + 3b + 4 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Поскольку $D < 0$, действительных корней нет.

Таким образом, единственное действительное решение для $b$ это $b=0$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = b+2 = 0+2 = 2$.

4. Выполним обратную замену

Мы получили $a=2$ и $b=0$. Вернемся к переменной $x$, используя, например, замену для $b$:

$b = \sqrt[4]{x-8} = 0$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x-8 = 0^4$

$x-8 = 0$

$x = 8$

5. Проверим найденный корень

Корень $x=8$ принадлежит ОДЗ ($x \ge 8$).

Подставим его в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{8+8} - \sqrt[4]{8-8} = \sqrt[4]{16} - \sqrt[4]{0} = 2 - 0 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $8$.