Номер 15.19, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.19. Решите уравнение $\sqrt{2-\sqrt{2-x}} = x$.

Исходное уравнение:
$ \sqrt{2-\sqrt{2-x}} = x $

1. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться следующие условия:
1) Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, что означает $x \le 2$.
2) Правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
3) Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным: $2 - \sqrt{2-x} \ge 0$.

Решим третье условие:
$2 \ge \sqrt{2-x}$
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$4 \ge 2-x$
$x \ge 2-4$
$x \ge -2$

Объединим все найденные условия для $x$:
$x \le 2$
$x \ge 0$
$x \ge -2$
Пересечение этих условий дает нам итоговую ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Решение уравнения

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат, так как мы знаем, что обе части неотрицательны ($x \ge 0$):
$(\sqrt{2-\sqrt{2-x}})^2 = x^2$
$2 - \sqrt{2-x} = x^2$

Теперь изолируем оставшийся корень:
$\sqrt{2-x} = 2 - x^2$

Перед следующим возведением в квадрат необходимо убедиться, что правая часть $2 - x^2$ также неотрицательна:
$2 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Совместим это новое ограничение с нашей ОДЗ ($0 \le x \le 2$). Область для возможных корней сужается до: $0 \le x \le \sqrt{2}$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2-x} = 2 - x^2$ в квадрат:
$2-x = (2-x^2)^2$
$2-x = 4 - 4x^2 + x^4$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^4 - 4x^2 + x + 2 = 0$

3. Решение полиномиального уравнения

Попробуем найти рациональные корни этого уравнения среди делителей свободного члена (числа 2). Возможные корни: $\pm1, \pm2$.
Проверим $x=1$: $1^4 - 4(1)^2 + 1 + 2 = 1 - 4 + 1 + 2 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
Проверим $x=-2$: $(-2)^4 - 4(-2)^2 + (-2) + 2 = 16 - 16 - 2 + 2 = 0$. Значит, $x=-2$ также является корнем.

Поскольку $x=1$ и $x=-2$ — корни, многочлен $x^4 - 4x^2 + x + 2$ делится на $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$. Выполнив деление многочленов, получим:
$(x^2+x-2)(x^2 - x - 1) = 0$

Теперь у нас есть совокупность уравнений:
1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x+2 = 0 \implies x_2 = -2$
3) $x^2 - x - 1 = 0$. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Отсюда $x_3 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

4. Проверка корней

Проверим, соответствуют ли найденные корни нашему условию $0 \le x \le \sqrt{2}$.
1) $x_1 = 1$. Условие $0 \le 1 \le \sqrt{2}$ выполняется, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$. Этот корень подходит.
2) $x_2 = -2$. Не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Это посторонний корень.
3) $x_3 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} \approx 1.618$. Не удовлетворяет условию $x \le \sqrt{2}$. Это посторонний корень.
4) $x_4 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1-2.236}{2} \approx -0.618$. Не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$