Номер 15.18, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.18. Решите уравнение $ \sqrt[3]{2 - x} = 1 - \sqrt{x - 1} $.

Исходное уравнение:

$\sqrt[3]{2-x} = 1 - \sqrt{x-1}$

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

Для решения данного иррационального уравнения удобно использовать метод введения новых переменных. Введем замены:

$a = \sqrt[3]{2-x}$

$b = \sqrt{x-1}$

По определению арифметического квадратного корня, переменная $b$ должна быть неотрицательной, то есть $b \ge 0$.

С учетом введенных замен исходное уравнение принимает вид:

$a = 1 - b$

Теперь установим еще одну связь между переменными $a$ и $b$. Для этого выразим $x$ из каждой замены. Возведем первое равенство в куб, а второе — в квадрат:

$a^3 = (\sqrt[3]{2-x})^3 \implies a^3 = 2-x$

$b^2 = (\sqrt{x-1})^2 \implies b^2 = x-1$

Сложим полученные выражения:

$a^3 + b^2 = (2-x) + (x-1)$

$a^3 + b^2 = 1$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a = 1 - b \\ a^3 + b^2 = 1 \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(1-b)^3 + b^2 = 1$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(m-n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$:

$1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot b + 3 \cdot 1 \cdot b^2 - b^3 + b^2 = 1$

$1 - 3b + 3b^2 - b^3 + b^2 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$-b^3 + 4b^2 - 3b + 1 = 1$

$-b^3 + 4b^2 - 3b = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$b^3 - 4b^2 + 3b = 0$

Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$b(b^2 - 4b + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $b = 0$

2) $b^2 - 4b + 3 = 0$. Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Следовательно, корнями являются $b_1 = 1$ и $b_2 = 3$.

Мы получили три возможных значения для $b$: $0, 1, 3$. Все они удовлетворяют условию $b \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для $b=0$:

$\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x=1$.

Для $b=1$:

$\sqrt{x-1} = 1 \implies x-1 = 1^2 \implies x-1 = 1 \implies x=2$.

Для $b=3$:

$\sqrt{x-1} = 3 \implies x-1 = 3^2 \implies x-1 = 9 \implies x=10$.

Все найденные значения $x=1, x=2, x=10$ принадлежат ОДЗ ($x \ge 1$).

Проведем проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение.

При $x=1$: левая часть $\sqrt[3]{2-1} = \sqrt[3]{1} = 1$; правая часть $1 - \sqrt{1-1} = 1 - 0 = 1$. Равенство $1=1$ верное.

При $x=2$: левая часть $\sqrt[3]{2-2} = \sqrt[3]{0} = 0$; правая часть $1 - \sqrt{2-1} = 1 - \sqrt{1} = 1-1=0$. Равенство $0=0$ верное.

При $x=10$: левая часть $\sqrt[3]{2-10} = \sqrt[3]{-8} = -2$; правая часть $1 - \sqrt{10-1} = 1 - \sqrt{9} = 1-3=-2$. Равенство $-2=-2$ верное.

Все три корня подходят.

Ответ: $1; 2; 10$.