Номер 15.4, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.4. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0$;

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2$;

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8$;

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$.

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0$

В данном уравнении можно заметить повторяющуюся часть $x^2 - 4x$. Чтобы упростить уравнение, воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Возведем обе части равенства $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$ в квадрат, чтобы выразить $x^2 - 4x$: $t^2 = x^2 - 4x + 20$ $x^2 - 4x = t^2 - 20$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение: $(t^2 - 20) - 3t + 10 = 0$ $t^2 - 3t - 10 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Корнями являются $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.

Вспомним об ограничении $t \ge 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, он является посторонним. Таким образом, у нас остается единственный корень $t = 5$.

Теперь выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - 4x + 20} = 5$

Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 4x + 20 = 25$ $x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $x$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения определяется условием $x^2 - 4x + 20 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 16 - 80 = -64 < 0$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена вверх и не пересекает ось абсцисс, то есть выражение $x^2 - 4x + 20$ положительно при любых $x$. Значит, ОДЗ $x \in \mathbb{R}$. Оба найденных корня являются решениями.

Ответ: $-1; 5$.

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2$

Преобразуем правую часть уравнения: $4 + 3x - x^2 = 4 - (x^2 - 3x)$. Уравнение принимает вид: $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 - (x^2 - 3x)$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 3x + 11}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x^2 - 3x + 11$, и отсюда $x^2 - 3x = t^2 - 11$.

Подставим это в преобразованное уравнение: $2t = 4 - (t^2 - 11)$ $2t = 4 - t^2 + 11$ $t^2 + 2t - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$. Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -5$ является посторонним. Остается $t = 3$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 3$

Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 3x + 11 = 9$ $x^2 - 3x + 2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим ОДЗ. 1. Выражение под корнем $x^2 - 3x + 11$ всегда положительно (дискриминант $D = 9 - 44 = -35 < 0$). 2. Правая часть исходного уравнения должна быть неотрицательной: $4 + 3x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 3x - 4 \le 0$. Корнями $x^2 - 3x - 4 = 0$ являются $x = -1$ и $x = 4$. Неравенство выполняется для $x \in [-1, 4]$. Оба найденных корня ($1$ и $2$) принадлежат этому отрезку, следовательно, являются решениями.

Ответ: $1; 2$.

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8$

Заметим, что $2x^2 - 6x + 40 = 2(x^2 - 3x) + 40$. Сделаем замену $t = x^2 - 3x$.

Уравнение примет вид: $\sqrt{2t + 40} = t + 8$

Решим это иррациональное уравнение. Правая часть должна быть неотрицательной: $t + 8 \ge 0$, то есть $t \ge -8$. При этом условии возведем обе части в квадрат: $2t + 40 = (t + 8)^2$ $2t + 40 = t^2 + 16t + 64$ $t^2 + 14t + 24 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = -2$ и $t_2 = -12$. Проверим условие $t \ge -8$. $t_1 = -2$ подходит, а $t_2 = -12$ не подходит, являясь посторонним корнем. Итак, $t = -2$.

Выполним обратную замену: $x^2 - 3x = -2$ $x^2 - 3x + 2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Так как при $t=-2$ правая часть исходного уравнения, равная $t+8=6$, положительна, и подкоренное выражение $2t+40=36$ также положительно, то найденные значения $x$ являются решениями.

Ответ: $1; 2$.

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$

Преобразуем первое слагаемое: $5x^2 + 10x = 5(x^2 + 2x)$. Введем замену $t = \sqrt{x^2 + 2x - 15}$, где $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 + 2x - 15$, откуда $x^2 + 2x = t^2 + 15$. Тогда $5(x^2 + 2x) = 5(t^2 + 15) = 5t^2 + 75$.

Подставим в исходное уравнение: $(5t^2 + 75) + t = 123$ $5t^2 + t - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$: $D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-48) = 1 + 960 = 961 = 31^2$. $t = \frac{-1 \pm 31}{10}$. $t_1 = \frac{30}{10} = 3$, $t_2 = \frac{-32}{10} = -3.2$.

Поскольку $t \ge 0$, корень $t_2 = -3.2$ является посторонним. Остается $t = 3$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 + 2x - 15} = 3$

Возведем обе части в квадрат: $x^2 + 2x - 15 = 9$ $x^2 + 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -6$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 + 2x - 15 \ge 0$. Корнями трехчлена являются $x = -5$ и $x = 3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [3, \infty)$. Оба найденных корня ($x_1 = 4$ и $x_2 = -6$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-6; 4$.