Номер 15.3, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.3. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7;$

2) $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2;$

3) $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5;$

4) $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$.
Перенесем члены уравнения так, чтобы сгруппировать похожие выражения: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 - 3x - 7 = 0$.
Заметим, что выражение $x^2 - 3x$ присутствует как под корнем, так и вне его. Дополним выражение $x^2 - 3x$ до подкоренного выражения $x^2 - 3x + 5$:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} + (x^2 - 3x + 5) - 5 - 7 = 0$
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} + (x^2 - 3x + 5) - 12 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = (\sqrt{x^2 - 3x + 5})^2 = x^2 - 3x + 5$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$t + t^2 - 12 = 0$
$t^2 + t - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Отсюда корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Проверим корни по условию $t \ge 0$. Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому является посторонним. Остается только $t_1 = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 - 3x + 5 = 9$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 4$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2$.
Преобразуем правую часть уравнения: $12 + 3x - x^2 = 12 - (x^2 - 3x)$.
В левой части под корнем также можно выделить выражение $x^2 - 3x$: $\sqrt{3(x^2 - 3x) - 26}$.
Введем замену. Пусть $y = x^2 - 3x$.
Уравнение примет вид: $\sqrt{3y - 26} = 12 - y$.
Для существования решения необходимо выполнение системы неравенств (область допустимых значений):
$\begin{cases} 3y - 26 \ge 0 \\ 12 - y \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge \frac{26}{3} \\ y \le 12 \end{cases}$
Таким образом, $y \in [\frac{26}{3}, 12]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$3y - 26 = (12 - y)^2$
$3y - 26 = 144 - 24y + y^2$
$y^2 - 27y + 170 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 170 = 729 - 680 = 49 = 7^2$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{27 - 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$y_2 = \frac{27 + 7}{2} = \frac{34}{2} = 17$.
Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений $[\frac{26}{3}, 12]$.
$y_1 = 10$. Так как $\frac{26}{3} \approx 8.67$, то условие $8.67 \le 10 \le 12$ выполняется. Этот корень подходит.
$y_2 = 17$. $17 > 12$. Этот корень является посторонним.
Выполним обратную замену для $y = 10$:
$x^2 - 3x = 10$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 5$.

3) Исходное уравнение: $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$.
Вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых: $2(x^2 + 3x) - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$.
Преобразуем выражение в скобках, чтобы оно совпало с подкоренным:
$2(x^2 + 3x - 3 + 3) - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$
$2(x^2 + 3x - 3) + 6 - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$
$2(x^2 + 3x - 3) - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} + 1 = 0$
Введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 3x - 3}$. Условие: $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = x^2 + 3x - 3$.
Подставим в уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Так как сумма коэффициентов $2 - 3 + 1 = 0$, то один из корней $t_1 = 1$. Второй корень $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.
Оба корня $t_1=1$ и $t_2=0.5$ удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому рассматриваем оба случая.
Случай 1: $t = 1$.
$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 1 \implies x^2 + 3x - 3 = 1 \implies x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = \frac{1}{2} \implies x^2 + 3x - 3 = \frac{1}{4} \implies x^2 + 3x - \frac{13}{4} = 0$.
Умножим на 4: $4x^2 + 12x - 13 = 0$.
Решим через дискриминант: $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 144 + 208 = 352$.
$\sqrt{D} = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22}$.
$x = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}$.
Получаем еще два корня: $x_3 = \frac{-3 + \sqrt{22}}{2}$ и $x_4 = \frac{-3 - \sqrt{22}}{2}$.
Ответ: $-4; 1; \frac{-3 - \sqrt{22}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{22}}{2}$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72$.
Область допустимых значений: $x \ge 0$.
Упростим выражения под корнями, используя свойства степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$):
Первое слагаемое: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x^1 \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$.
Второе слагаемое: $\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x^1 \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{3/5} + x^{3/10} = 72$.
Заметим, что $x^{3/5} = (x^{3/10})^2$.
Введем замену. Пусть $t = x^{3/10}$. Поскольку $x \ge 0$, то $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = (x^{3/10})^2 = x^{3/5}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$t^2 + t = 72$
$t^2 + t - 72 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -72$
Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -9$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 8$. Корень $t_2 = -9$ является посторонним.
Выполним обратную замену:
$x^{3/10} = 8$
Возведем обе части в степень $\frac{10}{3}$:
$(x^{3/10})^{10/3} = 8^{10/3}$
$x = (\sqrt[3]{8})^{10} = 2^{10} = 1024$.
Ответ: $1024$.