Номер 15.6, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.6. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sqrt[3]{x + 2y} + \sqrt[3]{x - y + 2} = 3, \\ 2x + y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2, \\ xy = 27 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.

Подставим новые переменные в систему:

$$ \begin{cases} a - b = 2, \\ a^3 b^3 = 27 \end{cases} $$

Из второго уравнения $(ab)^3 = 27$ следует, что $ab = \sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} a - b = 2, \\ ab = 3 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a = b + 2$ и подставим во второе:

$(b + 2)b = 3$

$b^2 + 2b - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $b$. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $b_1 = 1$, $b_2 = -3$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $b = 1$, то $a = 1 + 2 = 3$.

Тогда $x = a^3 = 3^3 = 27$ и $y = b^3 = 1^3 = 1$.

Проверка: $\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1} = 3 - 1 = 2$; $27 \cdot 1 = 27$. Решение $(27, 1)$ подходит.

2. Если $b = -3$, то $a = -3 + 2 = -1$.

Тогда $x = a^3 = (-1)^3 = -1$ и $y = b^3 = (-3)^3 = -27$.

Проверка: $\sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{-27} = -1 - (-3) = 2$; $(-1) \cdot (-27) = 27$. Решение $(-1, -27)$ подходит.

Ответ: $(27; 1), (-1; -27)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 5 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратных корней и дробей, подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны быть равны нулю. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть одного знака. Из второго уравнения $x+y=5$ следует, что они оба должны быть положительными, т.е. $x > 0, y > 0$.

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$. Так как $x, y > 0$, то $t > 0$.

Первое уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (поскольку $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.

Оба корня положительны, поэтому подходят. Вернемся к исходным переменным.

1. Случай $t = 2$:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \implies \frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$.

Подставим это во второе уравнение системы:

$4y + y = 5 \implies 5y = 5 \implies y = 1$.

Тогда $x = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(4, 1)$.

2. Случай $t = \frac{1}{2}$:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{y} = \frac{1}{4} \implies y = 4x$.

Подставим это во второе уравнение системы:

$x + 4x = 5 \implies 5x = 5 \implies x = 1$.

Тогда $y = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(1, 4)$.

Ответ: $(4; 1), (1; 4)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x+2y} + \sqrt[3]{x-y+2} = 3, \\ 2x + y = 7 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x+2y}$ и $v = \sqrt[3]{x-y+2}$.

Первое уравнение примет вид: $u+v = 3$.

Возведем замены в куб: $u^3 = x+2y$ и $v^3 = x-y+2$.

Выразим $y$ из второго уравнения исходной системы: $y = 7-2x$.

Подставим это выражение в $u^3$ и $v^3$:

$u^3 = x + 2(7-2x) = x + 14 - 4x = 14 - 3x$.

$v^3 = x - (7-2x) + 2 = x - 7 + 2x + 2 = 3x - 5$.

Теперь сложим полученные выражения для $u^3$ и $v^3$:

$u^3 + v^3 = (14 - 3x) + (3x - 5) = 9$.

Получили систему для $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u+v = 3, \\ u^3 + v^3 = 9 \end{cases} $$

Используем формулу суммы кубов: $u^3+v^3 = (u+v)(u^2-uv+v^2)$.

$9 = 3(u^2-uv+v^2) \implies u^2-uv+v^2 = 3$.

Также можно записать $u^2-uv+v^2 = (u+v)^2 - 3uv$.

$3 = 3^2 - 3uv \implies 3 = 9 - 3uv \implies 3uv = 6 \implies uv = 2$.

Решаем систему для $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u+v = 3, \\ uv = 2 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1=1, t_2=2$.

Таким образом, возможны два случая:

1. $u=1, v=2$.

Возвращаемся к $x$: $u^3 = 14-3x \implies 1^3 = 14-3x \implies 3x = 13 \implies x = \frac{13}{3}$.

Тогда $y = 7-2x = 7 - 2 \cdot \frac{13}{3} = 7 - \frac{26}{3} = \frac{21-26}{3} = -\frac{5}{3}$.

Получили решение $(\frac{13}{3}; -\frac{5}{3})$.

2. $u=2, v=1$.

Возвращаемся к $x$: $u^3 = 14-3x \implies 2^3 = 14-3x \implies 8 = 14-3x \implies 3x = 6 \implies x=2$.

Тогда $y = 7-2x = 7 - 2 \cdot 2 = 7-4=3$.

Получили решение $(2; 3)$.

Ответ: $(\frac{13}{3}; -\frac{5}{3}), (2; 3)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{3x-2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x-2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) требует, чтобы выражения под корнями были положительными (равенство нулю исключается, так как они в знаменателе): $\frac{3x-2y}{2x} > 0$.

Введем замену $t = \sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}$. Поскольку выражение под корнем положительно, $t > 0$.

Первое уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $t=1$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}} = 1$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{3x-2y}{2x} = 1$

$3x-2y = 2x$

$x = 2y$

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$x^2 - 8y^2 + 18y - 18 = 0$

$(2y)^2 - 8y^2 + 18y - 18 = 0$

$4y^2 - 8y^2 + 18y - 18 = 0$

$-4y^2 + 18y - 18 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$2y^2 - 9y + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни: $y_1 = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $y_2 = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

1. Если $y = 3$, то $x = 2y = 2 \cdot 3 = 6$.

Проверим ОДЗ: $\frac{3(6)-2(3)}{2(6)} = \frac{18-6}{12} = \frac{12}{12} = 1 > 0$. Решение $(6; 3)$ подходит.

2. Если $y = \frac{3}{2}$, то $x = 2y = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.

Проверим ОДЗ: $\frac{3(3)-2(3/2)}{2(3)} = \frac{9-3}{6} = \frac{6}{6} = 1 > 0$. Решение $(3; \frac{3}{2})$ подходит.

Ответ: $(6; 3), (3; \frac{3}{2})$.