Номер 15.5, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.5. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y + 4\sqrt{xy} = 37; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt[4]{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 4, \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \sqrt{4-x+y} + \sqrt{9-2x+y} = 7, \\ 2y - 3x = 12. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ x + y + 4\sqrt{xy} = 37; \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.

Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 + 4ab = 37; \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу квадрата суммы: $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

$(a+b)^2 - 2ab + 4ab = 37$

$(a+b)^2 + 2ab = 37$

Подставим в это уравнение значение $a+b=5$ из первого уравнения системы:

$5^2 + 2ab = 37$

$25 + 2ab = 37$

$2ab = 12$

$ab = 6$

Теперь мы имеем новую, более простую систему для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6; \end{cases}$

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Это дает нам два возможных случая для пары $(a, b)$:

1. $a = 2, b = 3$.

2. $a = 3, b = 2$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

1. $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$; $\sqrt{y} = 3 \implies y = 9$. Получаем решение $(4, 9)$.

2. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$; $\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$. Получаем решение $(9, 4)$.

Оба решения удовлетворяют условиям $x \ge 0, y \ge 0$. Проверим их, подставив в исходную систему. Оба решения подходят.

Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8; \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 3, \\ a^3 b^3 = 8; \end{cases}$

Из второго уравнения получаем $(ab)^3 = 8$, откуда $ab = \sqrt[3]{8} = 2$.

Теперь мы имеем систему для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 3, \\ ab = 2; \end{cases}$

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Это дает нам два возможных случая для пары $(a, b)$:

1. $a = 1, b = 2$.

2. $a = 2, b = 1$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

1. $\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$; $\sqrt[3]{y} = 2 \implies y = 2^3 = 8$. Получаем решение $(1, 8)$.

2. $\sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8$; $\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$. Получаем решение $(8, 1)$.

Проверка показывает, что оба решения верны.

Ответ: $(1, 8), (8, 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[4]{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 4, \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{cases}$

Область допустимых значений: $x+y \ge 0, x-y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[4]{x+y}$ и $b = \sqrt[4]{x-y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x+y} = a^2$ и $\sqrt{x-y} = b^2$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 4, \\ a^2 - b^2 = 8; \end{cases}$

Разложим второе уравнение на множители: $(a-b)(a+b) = 8$.

Подставим в это уравнение значение $a+b=4$ из первого уравнения:

$(a-b) \cdot 4 = 8$

$a-b = 2$

Теперь мы имеем систему линейных уравнений для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 4, \\ a - b = 2; \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(a+b) + (a-b) = 4+2$, что дает $2a = 6$, откуда $a=3$.

Подставим $a=3$ в первое уравнение: $3+b=4$, откуда $b=1$.

Найденные значения $a=3, b=1$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt[4]{x+y} = 3 \implies x+y = 3^4 = 81$.

$\sqrt[4]{x-y} = 1 \implies x-y = 1^4 = 1$.

Получаем новую систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x + y = 81, \\ x - y = 1; \end{cases}$

Сложим эти уравнения: $2x = 82 \implies x = 41$.

Подставим $x=41$ в первое уравнение: $41+y=81 \implies y = 40$.

Полученное решение $(41, 40)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(41, 40)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{4-x+y} + \sqrt{9-2x+y} = 7, \\ 2y - 3x = 12; \end{cases}$

Область допустимых значений: $4-x+y \ge 0$ и $9-2x+y \ge 0$.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x + 12 \implies y = \frac{3}{2}x + 6$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sqrt{4-x+(\frac{3}{2}x+6)} + \sqrt{9-2x+(\frac{3}{2}x+6)} = 7$

$\sqrt{10+\frac{1}{2}x} + \sqrt{15-\frac{1}{2}x} = 7$

Чтобы упростить уравнение, введем замену $t = \frac{1}{2}x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{10+t} + \sqrt{15-t} = 7$

ОДЗ для $t$: $10+t \ge 0 \implies t \ge -10$ и $15-t \ge 0 \implies t \le 15$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{10+t} + \sqrt{15-t})^2 = 7^2$

$(10+t) + 2\sqrt{(10+t)(15-t)} + (15-t) = 49$

$25 + 2\sqrt{150+5t-t^2} = 49$

$2\sqrt{150+5t-t^2} = 24$

$\sqrt{150+5t-t^2} = 12$

Снова возведем в квадрат:

$150+5t-t^2 = 144$

$t^2-5t-6 = 0$

Решая квадратное уравнение, находим корни $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $t$ ($-10 \le t \le 15$). Проверка подстановкой в уравнение $\sqrt{10+t} + \sqrt{15-t} = 7$ показывает, что оба корня подходят.

Теперь найдем $x$ и $y$ для каждого значения $t$.

1. Если $t=6$, то $\frac{1}{2}x = 6 \implies x=12$.

$y = \frac{3}{2}(12) + 6 = 18+6=24$. Получаем решение $(12, 24)$.

2. Если $t=-1$, то $\frac{1}{2}x = -1 \implies x=-2$.

$y = \frac{3}{2}(-2) + 6 = -3+6=3$. Получаем решение $(-2, 3)$.

Проверка подстановкой в исходную систему подтверждает, что оба решения верны.

Ответ: $(12, 24), (-2, 3)$.