Страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.7. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $225^\circ$;

2) $-315^\circ$;

3) $\frac{2\pi}{3}$;

4) $-\frac{5\pi}{6}$;

5) $6\pi$;

6) $-720^\circ$.

Задача состоит в том, чтобы найти положение точки на единичной окружности после поворота начальной точки $P_0(1; 0)$ на заданный угол. Положительный угол соответствует повороту против часовой стрелки, а отрицательный – по часовой стрелке. Координаты $(x; y)$ точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, определяются как $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) 225°

Поворот на $225^\circ$ осуществляется против часовой стрелки. Угол $225^\circ$ можно представить как $180^\circ + 45^\circ$. Это означает, что точка окажется в третьей координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_1$:
$x_1 = \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_1 = \sin(225^\circ) = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка расположена в третьей четверти на биссектрисе этого координатного угла.

Ответ: Точка $P_1(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) -315°

Поворот на $-315^\circ$ осуществляется по часовой стрелке. Этот поворот эквивалентен повороту против часовой стрелки на угол $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$. Точка окажется в первой координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_2$:
$x_2 = \cos(-315^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_2 = \sin(-315^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка расположена в первой четверти на биссектрисе этого координатного угла.

Ответ: Точка $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

3) $\frac{2\pi}{3}$

Поворот на угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан осуществляется против часовой стрелки. Переведем угол в градусы: $\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 120^\circ$. Этот угол соответствует второй координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_3$:
$x_3 = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$
$y_3 = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Точка $P_3(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

4) $-\frac{5\pi}{6}$

Поворот на угол $-\frac{5\pi}{6}$ радиан осуществляется по часовой стрелке. Переведем угол в градусы: $-\frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -150^\circ$. Этот угол соответствует третьей координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_4$:
$x_4 = \cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y_4 = \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\sin(150^\circ) = -\frac{1}{2}$

Ответ: Точка $P_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

5) $6\pi$

Полный оборот по окружности равен $2\pi$ радиан. Угол $6\pi$ равен трем полным оборотам ($6\pi = 3 \cdot 2\pi$).

Следовательно, после поворота на угол $6\pi$ точка вернется в свое начальное положение $P_0(1; 0)$.

Координаты точки $P_5$:
$x_5 = \cos(6\pi) = \cos(0) = 1$
$y_5 = \sin(6\pi) = \sin(0) = 0$

Ответ: Точка $P_5(1; 0)$.

6) -720°

Полный оборот по окружности равен $360^\circ$. Угол $-720^\circ$ равен двум полным оборотам по часовой стрелке ($-720^\circ = -2 \cdot 360^\circ$).

Следовательно, после поворота на угол $-720^\circ$ точка вернется в свое начальное положение $P_0(1; 0)$.

Координаты точки $P_6$:
$x_6 = \cos(-720^\circ) = \cos(0^\circ) = 1$
$y_6 = \sin(-720^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$

Ответ: Точка $P_6(1; 0)$.

17.8. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $400^{\circ}$;

2) $750^{\circ}$;

3) $-470^{\circ}$;

4) $-\frac{7\pi}{6}$;

5) $-1,8\pi$;

6) $6?$;

Чтобы определить, в какой четверти находится точка на единичной окружности, нужно привести заданный угол к значению в диапазоне от 0° до 360° (или от $0$ до $2\pi$ радиан). Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки от точки $P_0(1; 0)$, отрицательные — по часовой стрелке.

• I четверть: от 0° до 90° ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$)
• II четверть: от 90° до 180° ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$)
• III четверть: от 180° до 270° ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: от 270° до 360° ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$)

1) 400°

Угол $400°$ больше полного оборота ($360°$). Чтобы найти эквивалентный угол в пределах одного оборота, вычтем $360°$:
$400° - 360° = 40°$.
Угол $40°$ находится в интервале от $0°$ до $90°$, следовательно, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

2) 750°

Угол $750°$ содержит несколько полных оборотов. Найдем остаток от деления $750°$ на $360°$:
$750° = 2 \cdot 360° + 30° = 720° + 30°$.
Эквивалентный угол равен $30°$. Угол $30°$ находится в интервале от $0°$ до $90°$, следовательно, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

3) -470°

Угол отрицательный. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, будем прибавлять $360°$, пока не получим значение в диапазоне от $0°$ до $360°$:
$-470° + 360° = -110°$.
$-110° + 360° = 250°$. (Или $-470° + 2 \cdot 360° = -470° + 720° = 250°$)
Угол $250°$ находится в интервале от $180°$ до $270°$, следовательно, точка находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

4) $-\frac{7\pi}{6}$

Угол задан в радианах. Так как он отрицательный, прибавим полный оборот $2\pi$, чтобы найти эквивалентный положительный угол:
$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Сравним полученный угол с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$ (поскольку $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$). Это соответствует второй четверти.
Ответ: II четверть.

5) -1,8π

Угол отрицательный. Прибавим $2\pi$:
$-1,8\pi + 2\pi = 0,2\pi$.
Сравним с границами первой четверти ($0$ до $\frac{\pi}{2}$ или $0.5\pi$): $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$. Следовательно, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

6) 6

Угол задан в радианах (6 радиан). Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, чтобы определить границы четвертей:
$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$
$\pi \approx 3,14$
$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$
$2\pi \approx 6,28$
Угол 6 радиан удовлетворяет неравенству $4,71 < 6 < 6,28$, что соответствует интервалу $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$. Следовательно, точка находится в четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.

17.9. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $-380^{\circ}$;

2) $-800^{\circ}$;

3) $5,5\pi$;

4) $-\frac{11\pi}{6}$;

5) $1$;

6) $-3?$

Для определения координатной четверти, в которой находится точка на единичной окружности, необходимо привести заданный угол к значению в диапазоне от 0° до 360° (или от 0 до $2\pi$ радиан).

• I четверть: угол от 0° до 90° ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$)
• II четверть: угол от 90° до 180° ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$)
• III четверть: угол от 180° до 270° ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: угол от 270° до 360° ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$)

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки от точки $P_0(1; 0)$, а отрицательные — по часовой стрелке.

Угол $-380°$ является отрицательным. Чтобы найти его положение на окружности, можно прибавить к нему полный оборот, равный 360°, до тех пор, пока не получим угол в промежутке от 0° до 360°.

$-380° + 360° = -20°$

Угол $-20°$ означает поворот на 20° по часовой стрелке от начальной точки. Этот угол эквивалентен углу $360° - 20° = 340°$.

Полученный угол $340°$ находится в промежутке $270° < 340° < 360°$. Следовательно, точка находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

Угол $-800°$ является отрицательным. Найдем эквивалентный ему положительный угол, прибавляя полные обороты по 360°.

$-800° + 2 \times 360° = -800° + 720° = -80°$.

Угол $-80°$ эквивалентен углу $360° - 80° = 280°$.

Угол $280°$ находится в промежутке $270° < 280° < 360°$. Следовательно, точка находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

Угол задан в радианах: $5,5\pi$. Полный оборот в радианах равен $2\pi$. Чтобы найти положение точки, вычтем из данного угла целое число полных оборотов.

$5,5\pi = 4\pi + 1,5\pi = 2 \times (2\pi) + \frac{3\pi}{2}$.

Это означает, что точка совершает два полных оборота против часовой стрелки и останавливается в положении, соответствующем углу $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан (или 270°) соответствует точке с координатами $(0; -1)$, которая лежит на отрицательной части оси OY. Эта точка находится на границе между III и IV четвертями и не принадлежит ни одной из них.

Ответ: Точка находится на границе III и IV четвертей.

Угол $-\frac{11\pi}{6}$ является отрицательным. Найдем эквивалентный ему положительный угол в промежутке от 0 до $2\pi$, прибавив $2\pi$.

$-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ находится в промежутке $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

Угол задан как 1 радиан. Для определения четверти сравним это значение с граничными значениями четвертей в радианах, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Граница I и II четвертей — угол $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$ радиан.

Так как $0 < 1 < 1,57$, то угол 1 радиан находится в промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

Угол задан как -3 радиана. Это отрицательный угол. Можно найти эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$.

$-3 + 2\pi \approx -3 + 2 \times 3,14159 = -3 + 6,28318 = 3,28318$ радиан.

Сравним полученное значение с границами четвертей:

$\pi \approx 3,14159$ (граница II и III четвертей).

$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14159}{2} \approx 4,71$ (граница III и IV четвертей).

Поскольку $3,14159 < 3,28318 < 4,71$, угол находится в промежутке $(\pi, \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, точка находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

17.10. Найдите координаты точки единичной окружности, полученной при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $-90^\circ$;

2) $-180^\circ$;

3) $\frac{5\pi}{2}$;

4) $-\frac{3\pi}{2}$;

5) $450^\circ$;

6) $-2\pi$.

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

1) -90°
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -90°$.
Абсцисса точки: $x = \cos(-90°) = \cos(90°) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(-90°) = -\sin(90°) = -1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

2) -180°
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -180°$.
Абсцисса точки: $x = \cos(-180°) = \cos(180°) = -1$.
Ордината точки: $y = \sin(-180°) = -\sin(180°) = 0$.
Следовательно, искомые координаты: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

3) $\frac{5\pi}{2}$
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = \frac{5\pi}{2}$.
Угол можно представить в виде $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Поскольку поворот на $2\pi$ соответствует полному обороту, он не меняет положения точки. Таким образом, поворот на $\frac{5\pi}{2}$ эквивалентен повороту на $\frac{\pi}{2}$.
Абсцисса точки: $x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

4) $-\frac{3\pi}{2}$
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$.
Абсцисса точки: $x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

5) 450°
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = 450°$.
Угол можно представить в виде $450° = 360° + 90°$. Поскольку поворот на $360°$ соответствует полному обороту, он не меняет положения точки. Таким образом, поворот на $450°$ эквивалентен повороту на $90°$.
Абсцисса точки: $x = \cos(450°) = \cos(360° + 90°) = \cos(90°) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(450°) = \sin(360° + 90°) = \sin(90°) = 1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

6) -2π
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -2\pi$.
Угол $-2\pi$ соответствует полному обороту по часовой стрелке, поэтому точка вернется в свое начальное положение.
Абсцисса точки: $x = \cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$.
Ордината точки: $y = \sin(-2\pi) = -\sin(2\pi) = 0$.
Следовательно, искомые координаты: $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$.

17.11. Какие координаты имеет точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{3\pi}{2}$;

2) $3\pi$;

3) $-\frac{\pi}{2}$;

4) $180^{\circ}$;

5) $-540^{\circ}$?

Для нахождения координат точки на единичной окружности, полученной при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, используются формулы: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $\frac{3\pi}{2}$
Найдем координаты точки для угла $\alpha = \frac{3\pi}{2}$.
$x = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$
$y = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$
Координаты точки: (0; -1).
Ответ: (0; -1).

2) $3\pi$
Найдем координаты точки для угла $\alpha = 3\pi$.
Поскольку период тригонометрических функций синус и косинус равен $2\pi$, мы можем упростить угол: $3\pi = 2\pi + \pi$.
$x = \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$
$y = \sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$
Координаты точки: (-1; 0).
Ответ: (-1; 0).

3) $-\frac{\pi}{2}$
Найдем координаты точки для угла $\alpha = -\frac{\pi}{2}$.
Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:
$x = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
$y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$
Координаты точки: (0; -1).
Ответ: (0; -1).

4) 180°
Переведем градусы в радианы: $180^\circ = \pi$ радиан.
Найдем координаты точки для угла $\alpha = \pi$.
$x = \cos(180^\circ) = \cos(\pi) = -1$
$y = \sin(180^\circ) = \sin(\pi) = 0$
Координаты точки: (-1; 0).
Ответ: (-1; 0).

5) -540°
Упростим угол, выделив полные обороты ($360^\circ$):
$-540^\circ = -360^\circ - 180^\circ$.
Поворот на $-540^\circ$ дает ту же точку, что и поворот на $-180^\circ$.
$x = \cos(-540^\circ) = \cos(-180^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$
$y = \sin(-540^\circ) = \sin(-180^\circ) = -\sin(180^\circ) = 0$
Координаты точки: (-1; 0).
Ответ: (-1; 0).

17.12. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, при повороте на которые точки $P_0 (1; 0)$ будет получена точка с координатами:

1) (0; 1);

2) (-1; 0);

3) (0; -1);

4) (1; 0).

Рассмотрим повороты точки $P_0(1; 0)$ на единичной окружности. Координаты точки, полученной поворотом на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Для каждой из заданных точек мы определим все возможные углы поворота и выберем из них наименьший положительный и наибольший отрицательный.

1) (0; 1)

Для получения точки $(0; 1)$ необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 0$ и $\sin(\alpha) = 1$. Это соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Все углы, которые приводят в эту точку, описываются формулой $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Чтобы найти наименьший положительный угол, подбираем $k$ так, чтобы $\alpha > 0$ было минимальным. При $k=0$ получаем: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).

Чтобы найти наибольший отрицательный угол, подбираем $k$ так, чтобы $\alpha < 0$ было максимальным (ближайшим к нулю). При $k=-1$ получаем: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (или $-270^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$); наибольший отрицательный угол $-\frac{3\pi}{2}$ (или $-270^\circ$).

2) (-1; 0)

Для получения точки $(-1; 0)$ необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = -1$ и $\sin(\alpha) = 0$. Это соответствует углу $\alpha = \pi$. Все углы, которые приводят в эту точку, описываются формулой $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Наименьший положительный угол получаем при $k=0$: $\alpha = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$ (или $180^\circ$).

Наибольший отрицательный угол получаем при $k=-1$: $\alpha = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi$ (или $-180^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $\pi$ (или $180^\circ$); наибольший отрицательный угол $-\pi$ (или $-180^\circ$).

3) (0; -1)

Для получения точки $(0; -1)$ необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 0$ и $\sin(\alpha) = -1$. Это соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ или $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Все углы, которые приводят в эту точку, описываются формулой $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Наименьший положительный угол получаем при $k=1$: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$).

Наибольший отрицательный угол получаем при $k=0$: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}$ (или $-90^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $\frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$); наибольший отрицательный угол $-\frac{\pi}{2}$ (или $-90^\circ$).

4) (1; 0)

Получение точки $(1; 0)$ из самой себя означает поворот на угол, кратный полному обороту. Необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 1$ и $\sin(\alpha) = 0$. Все такие углы описываются формулой $\alpha = 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$) получаем при $k=1$: $\alpha = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ (или $360^\circ$). При $k=0$ угол равен 0, что не является положительным числом.

Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$) получаем при $k=-1$: $\alpha = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$ (или $-360^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $2\pi$ (или $360^\circ$); наибольший отрицательный угол $-2\pi$ (или $-360^\circ$).

17.13. Укажите все действительные числа, соответствующие точке P единичной окружности (рис. 17.8).

а: $\frac{2\pi}{3}$

б: $-\frac{\pi}{4}$

в: $\pi$

Рис. 17.8

а)

На рисунке 17.8 а) точка P на единичной окружности соответствует углу поворота $\frac{2\pi}{3}$ радиан, отсчитанному от начальной точки $P_0(1, 0)$ против часовой стрелки. Поскольку полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан, то этой же точке P будут соответствовать все углы, которые отличаются от $\frac{2\pi}{3}$ на целое число полных оборотов. Следовательно, все действительные числа, соответствующие точке P, можно найти по формуле, где $k$ — любое целое число:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

б)

На рисунке 17.8 б) точка P соответствует углу поворота от точки $P_0(1, 0)$ по часовой стрелке. Величина угла равна $\frac{\pi}{4}$. Движение по часовой стрелке соответствует отрицательным углам, поэтому один из углов для точки P равен $-\frac{\pi}{4}$. Чтобы указать все действительные числа, соответствующие этой точке, необходимо учесть все возможные полные обороты, добавляя $2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, общая формула имеет вид:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

в)

На рисунке 17.8 в) точка P находится на отрицательной части оси абсцисс, ее координаты $(-1, 0)$. Это положение достигается поворотом точки $P_0(1, 0)$ на угол $\pi$ радиан (половина окружности) против часовой стрелки. Все действительные числа, соответствующие данной точке, получаются добавлением к $\pi$ целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число). Таким образом, формула для всех чисел, соответствующих точке P, будет:

$\pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.