Номер 17.10, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.10. Найдите координаты точки единичной окружности, полученной при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $-90^\circ$;

2) $-180^\circ$;

3) $\frac{5\pi}{2}$;

4) $-\frac{3\pi}{2}$;

5) $450^\circ$;

6) $-2\pi$.

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

1) -90°
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -90°$.
Абсцисса точки: $x = \cos(-90°) = \cos(90°) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(-90°) = -\sin(90°) = -1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

2) -180°
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -180°$.
Абсцисса точки: $x = \cos(-180°) = \cos(180°) = -1$.
Ордината точки: $y = \sin(-180°) = -\sin(180°) = 0$.
Следовательно, искомые координаты: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

3) $\frac{5\pi}{2}$
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = \frac{5\pi}{2}$.
Угол можно представить в виде $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Поскольку поворот на $2\pi$ соответствует полному обороту, он не меняет положения точки. Таким образом, поворот на $\frac{5\pi}{2}$ эквивалентен повороту на $\frac{\pi}{2}$.
Абсцисса точки: $x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

4) $-\frac{3\pi}{2}$
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$.
Абсцисса точки: $x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

5) 450°
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = 450°$.
Угол можно представить в виде $450° = 360° + 90°$. Поскольку поворот на $360°$ соответствует полному обороту, он не меняет положения точки. Таким образом, поворот на $450°$ эквивалентен повороту на $90°$.
Абсцисса точки: $x = \cos(450°) = \cos(360° + 90°) = \cos(90°) = 0$.
Ордината точки: $y = \sin(450°) = \sin(360° + 90°) = \sin(90°) = 1$.
Следовательно, искомые координаты: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

6) -2π
Найдем координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -2\pi$.
Угол $-2\pi$ соответствует полному обороту по часовой стрелке, поэтому точка вернется в свое начальное положение.
Абсцисса точки: $x = \cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$.
Ордината точки: $y = \sin(-2\pi) = -\sin(2\pi) = 0$.
Следовательно, искомые координаты: $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$.