Номер 17.17, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.17. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 (0; 1);$

2) $P_2 (-1; 0);$

3) $P_3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

4) $P_4 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат приводит к точке с координатами $(\cos(\alpha); \sin(\alpha))$. Чтобы получить точку $P_1(0; 1)$, нам необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются условия:
$\cos(\alpha) = 0$
$\sin(\alpha) = 1$
На единичной окружности этим условиям соответствует точка, находящаяся на положительной части оси ординат. Основной угол, соответствующий этой точке, равен $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).
Так как поворот на любой угол, кратный $2\pi$ ($360^\circ$), возвращает точку в то же самое положение, общее решение для всех таких углов имеет вид:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Чтобы получить точку $P_2(-1; 0)$, необходимо решить систему уравнений:
$\cos(\alpha) = -1$
$\sin(\alpha) = 0$
На единичной окружности этим условиям соответствует точка, находящаяся на отрицательной части оси абсцисс. Основной угол равен $\pi$ (или $180^\circ$).
С учетом периодичности, все углы, на которые нужно повернуть начальную точку, описываются формулой:
$\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Для точки $P_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ необходимо решить систему:
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$
Оба значения, косинуса и синуса, положительны, что означает, что угол находится в первой координатной четверти. Это табличные значения для угла $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$).
Общее решение для всех углов, учитывая периодичность, будет:
$\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) Для точки $P_4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ решаем систему:
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что угол находится во второй координатной четверти. Опорным углом (в первой четверти), для которого значения синуса и косинуса по модулю равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, является $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).
Для второй четверти искомый угол равен $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ (или $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$).
Общее решение:
$\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.