Номер 17.15, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.15. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $-\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z};$

2) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Координаты $(x; y)$ точки на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, вычисляются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $-\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in Z$

Найдем координаты точки, соответствующей углу $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k$.

Абсцисса точки: $x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k)$.

Ордината точки: $y = \sin(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k)$.

Поскольку функции синус и косинус имеют период $2\pi$, а $4\pi k = 2 \cdot (2\pi k)$ является целым кратным периода, мы можем отбросить это слагаемое:

$x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2})$

$y = \sin(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, для любого целого значения $k$ мы получаем одну и ту же точку с координатами $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

2) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

Найдем координаты точек, соответствующих углу $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Абсцисса точки: $x = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Ордината точки: $y = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.

Случай 1: $k$ — четное число. Пусть $k = 2n$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi(2n) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

$x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Получаем точку с координатами $(0; 1)$.

Случай 2: $k$ — нечетное число. Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n + \pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

$x = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Получаем точку с координатами $(0; -1)$.

Таким образом, при повороте на заданные углы получаются две точки.

Ответ: $(0; 1)$ и $(0; -1)$.

3) $\pi k, k \in Z$

Найдем координаты точек, соответствующих углу $\alpha = \pi k$.

Абсцисса точки: $x = \cos(\pi k)$.

Ордината точки: $y = \sin(\pi k)$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.

Случай 1: $k$ — четное число. Пусть $k = 2n$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \pi(2n) = 2\pi n$.

$x = \cos(2\pi n) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(2\pi n) = \sin(0) = 0$

Получаем точку с координатами $(1; 0)$, которая является начальной точкой $P_0$.

Случай 2: $k$ — нечетное число. Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \pi(2n+1) = 2\pi n + \pi$.

$x = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos(\pi) = -1$

$y = \sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$

Получаем точку с координатами $(-1; 0)$.

Таким образом, при повороте на заданные углы получаются две точки.

Ответ: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.