Номер 17.14, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.14. Укажите все действительные числа, соответствующие точке P единичной окружности (рис. 17.9).

а

y, x, O, P, P$_{0}$, 1

$- \frac{5\pi}{6}$

б

y, P, x, O, P$_{0}$, 1

$\frac{7\pi}{15}$

в

y, P, x, O, P$_{0}$, 1

$-\pi$

Рис. 17.9

а) На рисунке точка $P$ получена поворотом начальной точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{5\pi}{6}$ по часовой стрелке. Поворот по часовой стрелке соответствует отрицательному углу, поэтому одно из чисел, соответствующих точке $P$, равно $-\frac{5\pi}{6}$. Поскольку положение точки на единичной окружности повторяется через каждый полный оборот, равный $2\pi$ радиан, то все действительные числа, соответствующие точке $P$, можно найти по формуле, прибавляя к найденному значению целое число оборотов. Таким образом, искомое множество чисел задается выражением $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).
Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Точка $P$ расположена во второй координатной четверти. Угол $\frac{7\pi}{15}$, показанный на рисунке, отложен от положительной полуоси $Oy$ против часовой стрелки. Положительная полуось $Oy$ соответствует углу $\frac{\pi}{2}$, отложенному от положительной полуоси $Ox$. Следовательно, чтобы найти угол, соответствующий точке $P$, отсчитываемый от положительной полуоси $Ox$, нужно сложить эти два угла:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{15} = \frac{15\pi}{30} + \frac{14\pi}{30} = \frac{29\pi}{30}$.
Это одно из чисел, соответствующих точке $P$. Множество всех таких чисел получается добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k$).
Ответ: $\frac{29\pi}{30} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Точка $P$ находится на отрицательной полуоси $Ox$. Из рисунка видно, что она получена поворотом начальной точки $P_0(1,0)$ на угол $\pi$ по часовой стрелке. Такой поворот соответствует отрицательному углу, то есть одному из чисел, равных $-\pi$. Все действительные числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к $-\pi$ целое число полных оборотов ($2\pi k$).
Ответ: $-\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.