Номер 17.12, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.12. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, при повороте на которые точки $P_0 (1; 0)$ будет получена точка с координатами:

1) (0; 1);

2) (-1; 0);

3) (0; -1);

4) (1; 0).

Рассмотрим повороты точки $P_0(1; 0)$ на единичной окружности. Координаты точки, полученной поворотом на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Для каждой из заданных точек мы определим все возможные углы поворота и выберем из них наименьший положительный и наибольший отрицательный.

1) (0; 1)

Для получения точки $(0; 1)$ необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 0$ и $\sin(\alpha) = 1$. Это соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Все углы, которые приводят в эту точку, описываются формулой $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Чтобы найти наименьший положительный угол, подбираем $k$ так, чтобы $\alpha > 0$ было минимальным. При $k=0$ получаем: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).

Чтобы найти наибольший отрицательный угол, подбираем $k$ так, чтобы $\alpha < 0$ было максимальным (ближайшим к нулю). При $k=-1$ получаем: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (или $-270^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$); наибольший отрицательный угол $-\frac{3\pi}{2}$ (или $-270^\circ$).

2) (-1; 0)

Для получения точки $(-1; 0)$ необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = -1$ и $\sin(\alpha) = 0$. Это соответствует углу $\alpha = \pi$. Все углы, которые приводят в эту точку, описываются формулой $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Наименьший положительный угол получаем при $k=0$: $\alpha = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$ (или $180^\circ$).

Наибольший отрицательный угол получаем при $k=-1$: $\alpha = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi$ (или $-180^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $\pi$ (или $180^\circ$); наибольший отрицательный угол $-\pi$ (или $-180^\circ$).

3) (0; -1)

Для получения точки $(0; -1)$ необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 0$ и $\sin(\alpha) = -1$. Это соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ или $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Все углы, которые приводят в эту точку, описываются формулой $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Наименьший положительный угол получаем при $k=1$: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$).

Наибольший отрицательный угол получаем при $k=0$: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}$ (или $-90^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $\frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$); наибольший отрицательный угол $-\frac{\pi}{2}$ (или $-90^\circ$).

4) (1; 0)

Получение точки $(1; 0)$ из самой себя означает поворот на угол, кратный полному обороту. Необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 1$ и $\sin(\alpha) = 0$. Все такие углы описываются формулой $\alpha = 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$) получаем при $k=1$: $\alpha = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ (или $360^\circ$). При $k=0$ угол равен 0, что не является положительным числом.

Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$) получаем при $k=-1$: $\alpha = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$ (или $-360^\circ$).

Ответ: наименьший положительный угол $2\pi$ (или $360^\circ$); наибольший отрицательный угол $-2\pi$ (или $-360^\circ$).