Номер 17.18, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.18. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1(0; -1)$;

2) $P_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$;

3) $P_3(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ на единичной окружности приводит к точке $P(x; y)$, где координаты новой точки равны $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Чтобы найти все углы, на которые нужно повернуть начальную точку, необходимо для каждой конечной точки $(x; y)$ решить систему уравнений: $$ \begin{cases} \cos \alpha = x \\ \sin \alpha = y \end{cases} $$

1) $P_1(0; -1)$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых $\cos \alpha = 0$ и $\sin \alpha = -1$.
На единичной окружности это точка, расположенная на отрицательной части оси OY. Этой точке соответствует угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или 270°).
Поскольку функция синус и косинус имеют период $2\pi$, то все углы, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к найденному значению целое число полных оборотов ($2\pi k$).
Следовательно, искомые углы имеют вид $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как и косинус, и синус положительны, точка находится в первой координатной четверти.
Это табличное значение для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (или 60°).
Учитывая периодичность, все углы, соответствующие этой точке, выражаются формулой $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $P_3(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как и косинус, и синус отрицательны, точка находится в третьей координатной четверти.
Опорный угол в первой четверти, для которого косинус и синус равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\frac{\pi}{4}$.
Для третьей четверти угол равен $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ (или 225°).
Следовательно, все углы, соответствующие этой точке, можно найти по формуле $\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.