Страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.14. Укажите все действительные числа, соответствующие точке P единичной окружности (рис. 17.9).

а

y, x, O, P, P$_{0}$, 1

$- \frac{5\pi}{6}$

б

y, P, x, O, P$_{0}$, 1

$\frac{7\pi}{15}$

в

y, P, x, O, P$_{0}$, 1

$-\pi$

Рис. 17.9

а) На рисунке точка $P$ получена поворотом начальной точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{5\pi}{6}$ по часовой стрелке. Поворот по часовой стрелке соответствует отрицательному углу, поэтому одно из чисел, соответствующих точке $P$, равно $-\frac{5\pi}{6}$. Поскольку положение точки на единичной окружности повторяется через каждый полный оборот, равный $2\pi$ радиан, то все действительные числа, соответствующие точке $P$, можно найти по формуле, прибавляя к найденному значению целое число оборотов. Таким образом, искомое множество чисел задается выражением $t = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).
Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Точка $P$ расположена во второй координатной четверти. Угол $\frac{7\pi}{15}$, показанный на рисунке, отложен от положительной полуоси $Oy$ против часовой стрелки. Положительная полуось $Oy$ соответствует углу $\frac{\pi}{2}$, отложенному от положительной полуоси $Ox$. Следовательно, чтобы найти угол, соответствующий точке $P$, отсчитываемый от положительной полуоси $Ox$, нужно сложить эти два угла:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{15} = \frac{15\pi}{30} + \frac{14\pi}{30} = \frac{29\pi}{30}$.
Это одно из чисел, соответствующих точке $P$. Множество всех таких чисел получается добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k$).
Ответ: $\frac{29\pi}{30} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Точка $P$ находится на отрицательной полуоси $Ox$. Из рисунка видно, что она получена поворотом начальной точки $P_0(1,0)$ на угол $\pi$ по часовой стрелке. Такой поворот соответствует отрицательному углу, то есть одному из чисел, равных $-\pi$. Все действительные числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к $-\pi$ целое число полных оборотов ($2\pi k$).
Ответ: $-\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

17.15. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $-\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z};$

2) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

Координаты $(x; y)$ точки на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, вычисляются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $-\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in Z$

Найдем координаты точки, соответствующей углу $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k$.

Абсцисса точки: $x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k)$.

Ордината точки: $y = \sin(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k)$.

Поскольку функции синус и косинус имеют период $2\pi$, а $4\pi k = 2 \cdot (2\pi k)$ является целым кратным периода, мы можем отбросить это слагаемое:

$x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2})$

$y = \sin(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2})$

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, для любого целого значения $k$ мы получаем одну и ту же точку с координатами $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

2) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

Найдем координаты точек, соответствующих углу $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Абсцисса точки: $x = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Ордината точки: $y = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.

Случай 1: $k$ — четное число. Пусть $k = 2n$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi(2n) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

$x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Получаем точку с координатами $(0; 1)$.

Случай 2: $k$ — нечетное число. Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n + \pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

$x = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Получаем точку с координатами $(0; -1)$.

Таким образом, при повороте на заданные углы получаются две точки.

Ответ: $(0; 1)$ и $(0; -1)$.

3) $\pi k, k \in Z$

Найдем координаты точек, соответствующих углу $\alpha = \pi k$.

Абсцисса точки: $x = \cos(\pi k)$.

Ордината точки: $y = \sin(\pi k)$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.

Случай 1: $k$ — четное число. Пусть $k = 2n$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \pi(2n) = 2\pi n$.

$x = \cos(2\pi n) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(2\pi n) = \sin(0) = 0$

Получаем точку с координатами $(1; 0)$, которая является начальной точкой $P_0$.

Случай 2: $k$ — нечетное число. Пусть $k = 2n + 1$, где $n \in Z$.

Тогда угол $\alpha = \pi(2n+1) = 2\pi n + \pi$.

$x = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos(\pi) = -1$

$y = \sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$

Получаем точку с координатами $(-1; 0)$.

Таким образом, при повороте на заданные углы получаются две точки.

Ответ: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

17.16. Постройте на единичной окружности точки, которым соответствует множество чисел:

1) $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$

2) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}.$

1)Для множества чисел, заданного формулой $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, все значения соответствуют одной и той же точке на единичной окружности. Слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов по окружности (по $360^\circ$). Добавление или вычитание полных оборотов не меняет конечного положения точки.

Таким образом, нам нужно построить точку, соответствующую углу $\frac{3\pi}{4}$. Для этого от положительного направления оси абсцисс откладываем против часовой стрелки угол, равный $\frac{3\pi}{4}$ радиан, что составляет $135^\circ$. Эта точка расположена во второй координатной четверти.

Ответ: Данному множеству чисел соответствует одна точка на единичной окружности, полученная поворотом точки $(1, 0)$ на угол $\frac{3\pi}{4}$ против часовой стрелки.

2)Для множества чисел, заданного формулой $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, значения соответствуют двум точкам на единичной окружности. Слагаемое $\pi k$ представляет собой целое число полуоборотов (по $180^\circ$).

Рассмотрим два случая для целых $k$:

1. Если $k$ — четное число ($k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$), то формула принимает вид $-\frac{\pi}{4} + \pi(2n) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Это соответствует точке с углом $-\frac{\pi}{4}$ (или $315^\circ$), расположенной в четвертой координатной четверти.
2. Если $k$ — нечетное число ($k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$), то формула принимает вид $-\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) = (-\frac{\pi}{4} + \pi) + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. Это соответствует точке с углом $\frac{3\pi}{4}$ (или $135^\circ$), расположенной во второй координатной четверти.

Эти две точки являются диаметрально противоположными.

Ответ: Данному множеству чисел соответствуют две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, соответствующие углам $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.

3)Для множества чисел, заданного формулой $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$, значения соответствуют четырем точкам на единичной окружности. Эта формула задает все углы, кратные $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).

Придавая $k$ последовательные целые значения, получаем разные точки:

• При $k=0$, угол равен $0$. Это точка $(1, 0)$.
• При $k=1$, угол равен $\frac{\pi}{2}$. Это точка $(0, 1)$.
• При $k=2$, угол равен $\pi$. Это точка $(-1, 0)$.
• При $k=3$, угол равен $\frac{3\pi}{2}$. Это точка $(0, -1)$.

При $k=4$, угол равен $2\pi$, что соответствует той же точке, что и угол $0$. Далее точки циклически повторяются. Таким образом, мы получаем четыре точки, которые являются точками пересечения единичной окружности с осями координат.

Ответ: Данному множеству чисел соответствуют четыре точки на единичной окружности, являющиеся точками пересечения окружности с осями координат. Они соответствуют углам $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.

17.17. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 (0; 1);$

2) $P_2 (-1; 0);$

3) $P_3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right);$

4) $P_4 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат приводит к точке с координатами $(\cos(\alpha); \sin(\alpha))$. Чтобы получить точку $P_1(0; 1)$, нам необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются условия:
$\cos(\alpha) = 0$
$\sin(\alpha) = 1$
На единичной окружности этим условиям соответствует точка, находящаяся на положительной части оси ординат. Основной угол, соответствующий этой точке, равен $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).
Так как поворот на любой угол, кратный $2\pi$ ($360^\circ$), возвращает точку в то же самое положение, общее решение для всех таких углов имеет вид:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Чтобы получить точку $P_2(-1; 0)$, необходимо решить систему уравнений:
$\cos(\alpha) = -1$
$\sin(\alpha) = 0$
На единичной окружности этим условиям соответствует точка, находящаяся на отрицательной части оси абсцисс. Основной угол равен $\pi$ (или $180^\circ$).
С учетом периодичности, все углы, на которые нужно повернуть начальную точку, описываются формулой:
$\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Для точки $P_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ необходимо решить систему:
$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$
Оба значения, косинуса и синуса, положительны, что означает, что угол находится в первой координатной четверти. Это табличные значения для угла $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$).
Общее решение для всех углов, учитывая периодичность, будет:
$\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) Для точки $P_4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ решаем систему:
$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что угол находится во второй координатной четверти. Опорным углом (в первой четверти), для которого значения синуса и косинуса по модулю равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, является $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).
Для второй четверти искомый угол равен $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ (или $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$).
Общее решение:
$\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

17.18. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1(0; -1)$;

2) $P_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$;

3) $P_3(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ на единичной окружности приводит к точке $P(x; y)$, где координаты новой точки равны $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Чтобы найти все углы, на которые нужно повернуть начальную точку, необходимо для каждой конечной точки $(x; y)$ решить систему уравнений: $$ \begin{cases} \cos \alpha = x \\ \sin \alpha = y \end{cases} $$

1) $P_1(0; -1)$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых $\cos \alpha = 0$ и $\sin \alpha = -1$.
На единичной окружности это точка, расположенная на отрицательной части оси OY. Этой точке соответствует угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или 270°).
Поскольку функция синус и косинус имеют период $2\pi$, то все углы, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к найденному значению целое число полных оборотов ($2\pi k$).
Следовательно, искомые углы имеют вид $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как и косинус, и синус положительны, точка находится в первой координатной четверти.
Это табличное значение для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (или 60°).
Учитывая периодичность, все углы, соответствующие этой точке, выражаются формулой $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $P_3(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как и косинус, и синус отрицательны, точка находится в третьей координатной четверти.
Опорный угол в первой четверти, для которого косинус и синус равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\frac{\pi}{4}$.
Для третьей четверти угол равен $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ (или 225°).
Следовательно, все углы, соответствующие этой точке, можно найти по формуле $\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

17.19. Докажите, что площадь сектора, содержащего дугу в $\alpha$ рад, можно вычислить по формуле $S = \frac{\alpha R^2}{2}$, где $R$ — радиус окружности.

Площадь круга радиуса $R$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Этому кругу соответствует полный центральный угол, равный $2\pi$ радиан.

Площадь сектора круга прямо пропорциональна величине его центрального угла. Пусть сектор с площадью $S$ имеет центральный угол $\alpha$ радиан. Тогда можно составить пропорцию, приравнивая отношение площади сектора к площади всего круга к отношению соответствующих им центральных углов:

Подставим в данную пропорцию известную формулу площади круга $S_{круга} = \pi R^2$:

Чтобы найти площадь сектора $S$, выразим её из пропорции, умножив обе части уравнения на $\pi R^2$:

Сократим общий множитель $\pi$ в числителе и знаменателе дроби в правой части уравнения и получим искомую формулу:

Таким образом, мы доказали, что площадь сектора, содержащего дугу в $\alpha$ радиан, вычисляется по указанной формуле.

Ответ: Формула $S = \frac{\alpha R^2}{2}$ доказана.

17.20. Упростите:

1) ${ \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} }$;

2) ${ \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} }$;

3) ${ \{\pm\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} }$;

4) ${ \{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\frac{3\pi n}{10} \mid n \in \mathbb{Z}\} }$.

1) $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Первое множество $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ — это множество всех чисел, кратных $2\pi$. Эти числа также можно описать как четные целые кратные $\pi$. Например: $... -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...$ .
Второе множество $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ — это множество всех целых кратных $\pi$. Например: $... -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$ .
Требуется найти объединение ($ \cup $) этих множеств, то есть множество, содержащее все элементы из первого и второго множеств.
Любой элемент первого множества, имеющий вид $x = 2\pi n$, можно представить в виде $x = \pi \cdot (2n)$. Так как $n$ — целое число, то $2n$ также является целым числом. Это означает, что каждый элемент первого множества является также и элементом второго множества. Следовательно, первое множество является подмножеством второго.
Объединение множества с его подмножеством равно самому этому (большему) множеству. Таким образом, результатом является второе множество.

Ответ: $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

2) $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Первое множество $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ — это, как и в предыдущем пункте, множество четных целых кратных $\pi$.
Второе множество $\{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ можно переписать, вынеся $\pi$ за скобки: $\{\pi(1 + 2n) \mid n \in \mathbb{Z}\}$. Поскольку выражение $1+2n$ при любом целом $n$ дает нечетное целое число, это множество всех нечетных целых кратных $\pi$. Например: $... -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, ...$ .
Требуется найти пересечение ($ \cap $) этих множеств, то есть множество элементов, которые принадлежат и первому, и второму множеству одновременно.
Одно и то же число не может быть одновременно четным и нечетным кратным $\pi$. Следовательно, у этих двух множеств нет общих элементов. Их пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$

3) $\{\pm \frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Здесь мы ищем объединение трех серий чисел: $\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$, $\{-\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ и $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.
Давайте рассмотрим, какие точки эти серии задают на отрезке $[0, \pi)$.
- Из $\{\frac{\pi}{3} + \pi n\}$ получаем точку $\frac{\pi}{3}$.
- Из $\{-\frac{\pi}{3} + \pi n\}$ получаем точку $-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
- Из $\{\pi n\}$ получаем точку $0$.
На отрезке $[0, \pi)$ мы имеем точки $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$. Расстояние между соседними точками постоянно и равно $\frac{\pi}{3}$. Это означает, что все точки объединенного множества образуют арифметическую прогрессию с первым членом $0$ и разностью $\frac{\pi}{3}$.
Общую формулу для всех этих точек можно записать как $\frac{\pi k}{3}$ для любого целого $k$.
Действительно:
- Если $k=3m$ (кратно 3), то получаем $\frac{\pi(3m)}{3} = \pi m$, что соответствует третьей серии.
- Если $k=3m+1$, то получаем $\frac{\pi(3m+1)}{3} = \pi m + \frac{\pi}{3}$, что соответствует первой серии.
- Если $k=3m-1$, то получаем $\frac{\pi(3m-1)}{3} = \pi m - \frac{\pi}{3}$, что соответствует второй серии.
Таким образом, все три серии объединяются в одно множество.

Ответ: $\{\frac{\pi n}{3} \mid n \in \mathbb{Z}\}$

4) $\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\frac{3\pi n}{10} \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Чтобы найти пересечение, мы должны найти элементы, которые могут быть представлены в обеих формах. Для этого приравняем выражения для элементов множеств, используя разные переменные для целых чисел, например, $k$ и $m$:
$\frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{3\pi m}{10}$
Сократим уравнение на $\pi$:
$\frac{1}{2} + k = \frac{3m}{10}$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от знаменателей:
$5 + 10k = 3m$
Мы получили линейное диофантово уравнение. Чтобы $m$ было целым, выражение $5+10k$ должно делиться на 3. Рассмотрим остатки от деления на 3:
$5 + 10k \equiv 0 \pmod{3}$
$2 + k \equiv 0 \pmod{3}$
$k \equiv -2 \pmod{3}$ или $k \equiv 1 \pmod{3}$.
Это означает, что $k$ можно представить в виде $k = 3t + 1$ для некоторого целого числа $t$.
Теперь подставим это выражение для $k$ в формулу для элементов первого множества, чтобы найти общие элементы $x$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi (3t + 1) = \frac{\pi}{2} + 3\pi t + \pi = \frac{3\pi}{2} + 3\pi t$.
Заменив переменную $t$ на $n$ для соответствия исходному формату, получаем итоговое множество.

Ответ: $\{\frac{3\pi}{2} + 3\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$