Номер 17.16, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.16. Постройте на единичной окружности точки, которым соответствует множество чисел:

1) $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$

2) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}.$

1)Для множества чисел, заданного формулой $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, все значения соответствуют одной и той же точке на единичной окружности. Слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов по окружности (по $360^\circ$). Добавление или вычитание полных оборотов не меняет конечного положения точки.

Таким образом, нам нужно построить точку, соответствующую углу $\frac{3\pi}{4}$. Для этого от положительного направления оси абсцисс откладываем против часовой стрелки угол, равный $\frac{3\pi}{4}$ радиан, что составляет $135^\circ$. Эта точка расположена во второй координатной четверти.

Ответ: Данному множеству чисел соответствует одна точка на единичной окружности, полученная поворотом точки $(1, 0)$ на угол $\frac{3\pi}{4}$ против часовой стрелки.

2)Для множества чисел, заданного формулой $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, значения соответствуют двум точкам на единичной окружности. Слагаемое $\pi k$ представляет собой целое число полуоборотов (по $180^\circ$).

Рассмотрим два случая для целых $k$:

1. Если $k$ — четное число ($k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$), то формула принимает вид $-\frac{\pi}{4} + \pi(2n) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Это соответствует точке с углом $-\frac{\pi}{4}$ (или $315^\circ$), расположенной в четвертой координатной четверти.
2. Если $k$ — нечетное число ($k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$), то формула принимает вид $-\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) = (-\frac{\pi}{4} + \pi) + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. Это соответствует точке с углом $\frac{3\pi}{4}$ (или $135^\circ$), расположенной во второй координатной четверти.

Эти две точки являются диаметрально противоположными.

Ответ: Данному множеству чисел соответствуют две диаметрально противоположные точки на единичной окружности, соответствующие углам $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.

3)Для множества чисел, заданного формулой $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$, значения соответствуют четырем точкам на единичной окружности. Эта формула задает все углы, кратные $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).

Придавая $k$ последовательные целые значения, получаем разные точки:

• При $k=0$, угол равен $0$. Это точка $(1, 0)$.
• При $k=1$, угол равен $\frac{\pi}{2}$. Это точка $(0, 1)$.
• При $k=2$, угол равен $\pi$. Это точка $(-1, 0)$.
• При $k=3$, угол равен $\frac{3\pi}{2}$. Это точка $(0, -1)$.

При $k=4$, угол равен $2\pi$, что соответствует той же точке, что и угол $0$. Далее точки циклически повторяются. Таким образом, мы получаем четыре точки, которые являются точками пересечения единичной окружности с осями координат.

Ответ: Данному множеству чисел соответствуют четыре точки на единичной окружности, являющиеся точками пересечения окружности с осями координат. Они соответствуют углам $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.