Номер 18.1, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.1. Вычислите значение выражения:

1) $ \sin 0 + \tan \pi - \sin \frac{3\pi}{2} $;

2) $ 5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi $;

3) $ 2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} $;

4) $ \sin \frac{\pi}{3} \tan^2 \frac{\pi}{6} \cot \frac{\pi}{6} $.

1) $ \sin 0 + \tg \pi - \sin \frac{3\pi}{2} $

Для решения данного выражения найдем значения каждой тригонометрической функции, используя единичную окружность или таблицы значений:

$ \sin 0 = 0 $

$ \tg \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0 $

$ \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \sin 0 + \tg \pi - \sin \frac{3\pi}{2} = 0 + 0 - (-1) = 0 + 1 = 1 $

Ответ: $1$

2) $ 5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi $

Найдем значения косинусов для каждого из углов:

$ \cos \pi = -1 $

$ \cos \frac{3\pi}{2} = 0 $

$ \cos 2\pi = \cos 0 = 1 $

Теперь подставим эти значения в выражение и вычислим:

$ 5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi = 5 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = -5 + 0 + 2 = -3 $

Ответ: $-3$

3) $ 2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} $

Сначала найдем значения синуса и косинуса, а затем возведем их в квадрат:

$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, следовательно $ \sin^2 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно $ \cos^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $

Подставим полученные значения в выражение:

$ 2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} $

Ответ: $\frac{7}{4}$

4) $ \sin \frac{\pi}{3} \tg^2 \frac{\pi}{6} \ctg \frac{\pi}{6} $

Заметим, что $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $. Используя это свойство, можно упростить часть выражения: $ \tg^2 \frac{\pi}{6} \cdot \ctg \frac{\pi}{6} = \tg \frac{\pi}{6} \cdot \left(\tg \frac{\pi}{6} \cdot \ctg \frac{\pi}{6}\right) = \tg \frac{\pi}{6} \cdot 1 = \tg \frac{\pi}{6} $. Таким образом, исходное выражение можно упростить до $ \sin \frac{\pi}{3} \tg \frac{\pi}{6} $.

Теперь найдем значения оставшихся функций:

$ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Перемножим полученные значения:

$ \sin \frac{\pi}{3} \tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$