Номер 18.5, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.5. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ 2 - \sin \alpha $;

2) $ 6 - 2\cos \alpha $;

3) $ \sin^2 \alpha $;

4) $ 2\cos^2 \alpha - 3 $.

1) $2 - \sin\alpha$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения воспользуемся тем, что область значений функции синус ограничена промежутком [-1, 1], то есть $-1 \le \sin\alpha \le 1$.

Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 1 \le -1 \cdot \sin\alpha \le -1 \cdot (-1)$
$-1 \le -\sin\alpha \le 1$.

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$2 - 1 \le 2 - \sin\alpha \le 2 + 1$
$1 \le 2 - \sin\alpha \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1, а наибольшее равно 3.

Ответ: Наибольшее значение: 3; наименьшее значение: 1.

2) $6 - 2\cos\alpha$

Область значений функции косинус также ограничена промежутком [-1, 1]: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Умножим неравенство на 2:
$-2 \le 2\cos\alpha \le 2$.

Умножим на -1, не забыв изменить знаки неравенства:
$-1 \cdot 2 \le -2\cos\alpha \le -1 \cdot (-2)$
$-2 \le -2\cos\alpha \le 2$.

Прибавим 6 ко всем частям:
$6 - 2 \le 6 - 2\cos\alpha \le 6 + 2$
$4 \le 6 - 2\cos\alpha \le 8$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно 4, а наибольшее равно 8.

Ответ: Наибольшее значение: 8; наименьшее значение: 4.

3) $\sin^2\alpha$

Поскольку $-1 \le \sin\alpha \le 1$, при возведении в квадрат любого числа из этого промежутка результат будет неотрицательным.

Наименьшее значение выражения достигается, когда $\sin\alpha = 0$, тогда $\sin^2\alpha = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда $\sin\alpha = 1$ или $\sin\alpha = -1$, тогда $\sin^2\alpha = (\pm 1)^2 = 1$.

Таким образом, область значений выражения: $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Ответ: Наибольшее значение: 1; наименьшее значение: 0.

4) $2\cos^2\alpha - 3$

Аналогично предыдущему пункту, область значений функции $\cos^2\alpha$ — это промежуток [0, 1], то есть $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2\cos^2\alpha \le 2 \cdot 1$
$0 \le 2\cos^2\alpha \le 2$.

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства:
$0 - 3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le 2 - 3$
$-3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le -1$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее равно -1.

Ответ: Наибольшее значение: -1; наименьшее значение: -3.