Номер 18.4, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.4. Может ли быть равным числу $\frac{\sqrt{5}}{2}$ значение:

1) $\sin \alpha$;

2) $\cos \alpha$;

3) $\operatorname{tg} \alpha$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha$?

Для решения этой задачи необходимо сравнить число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ с областями значений тригонометрических функций.

Сначала оценим значение числа. Так как $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что равносильно $2 < \sqrt{5} < 3$.

Разделив все части неравенства на 2, получим: $\frac{2}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2} < \frac{3}{2}$, или $1 < \frac{\sqrt{5}}{2} < 1.5$.

Таким образом, число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ больше 1.

1) sin α

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство $-1 \le \sin \alpha \le 1$. Поскольку мы установили, что $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, это значение не может быть синусом какого-либо угла.

Ответ: нет, не может.

2) cos α

Область значений функции косинус, как и у синуса, — это отрезок $[-1, 1]$. Для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$. Так как $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, это значение не может быть косинусом какого-либо угла.

Ответ: нет, не может.

3) tg α

Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Любое действительное число может быть значением тангенса некоторого угла. Число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ является действительным числом, следовательно, существует такой угол $\alpha$, что $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: да, может.

4) ctg α

Область значений функции котангенс также является множеством всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Любое действительное число может быть значением котангенса некоторого угла. Число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ является действительным числом, следовательно, существует такой угол $\alpha$, что $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: да, может.