Номер 18.6, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.6. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $-5\cos \alpha;$

2) $\cos \alpha - 2;$

3) $5 + \sin^2 \alpha;$

4) $7 - 3\sin \alpha.$

1) -5cos α;

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения воспользуемся свойством ограниченности функции косинус. Значения косинуса любого угла находятся в промежутке от -1 до 1 включительно:

$-1 \le \cos\alpha \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на -5. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число его знаки меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-5) \ge -5\cos\alpha \ge 1 \cdot (-5)$

$5 \ge -5\cos\alpha \ge -5$

Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего значения к большему:

$-5 \le -5\cos\alpha \le 5$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -5 (достигается при $\cos\alpha=1$), а наибольшее значение равно 5 (достигается при $\cos\alpha=-1$).

Ответ: наименьшее значение -5, наибольшее значение 5.

2) cos α - 2;

Исходное неравенство для функции косинус:

$-1 \le \cos\alpha \le 1$

Чтобы найти область значений выражения $\cos\alpha - 2$, вычтем число 2 из каждой части неравенства:

$-1 - 2 \le \cos\alpha - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le \cos\alpha - 2 \le -1$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3 (при $\cos\alpha=-1$), а наибольшее значение равно -1 (при $\cos\alpha=1$).

Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение -1.

3) 5 + sin² α;

Значения функции синус находятся в промежутке от -1 до 1:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

При возведении в квадрат любого числа из этого промежутка, результат будет находиться в промежутке от 0 до 1, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а $(-1)^2 = 1^2 = 1$.

$0 \le \sin^2\alpha \le 1$

Теперь прибавим 5 ко всем частям этого неравенства, чтобы найти область значений для выражения $5 + \sin^2\alpha$:

$5 + 0 \le 5 + \sin^2\alpha \le 5 + 1$

$5 \le 5 + \sin^2\alpha \le 6$

Наименьшее значение выражения равно 5 (при $\sin\alpha=0$), а наибольшее значение равно 6 (при $\sin\alpha = \pm1$).

Ответ: наименьшее значение 5, наибольшее значение 6.

4) 7 - 3sin α.

Область значений функции синус:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

Умножим все части неравенства на -3, меняя знаки неравенства на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge -3\sin\alpha \ge 1 \cdot (-3)$

$3 \ge -3\sin\alpha \ge -3$

Перепишем в стандартном виде:

$-3 \le -3\sin\alpha \le 3$

Теперь прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 3 \le 7 - 3\sin\alpha \le 7 + 3$

$4 \le 7 - 3\sin\alpha \le 10$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 4 (при $\sin\alpha=1$), а наибольшее значение равно 10 (при $\sin\alpha=-1$).

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшее значение 10.