Номер 18.13, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \frac{1}{1 + \sin \alpha} $;

2) $ \frac{\cos^3 \alpha}{\cos \alpha} $;

3) $ \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha} $.

1) $ \frac{1}{1 + \sin\alpha} $

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому: $ 1 + \sin\alpha \neq 0 $ $ \sin\alpha \neq -1 $

Мы знаем, что значения синуса находятся в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $. С учетом ОДЗ, для нашего выражения значение $ \sin\alpha $ находится в полуинтервале $ (-1; 1] $.

Теперь рассмотрим знаменатель $ 1 + \sin\alpha $. Если $ -1 < \sin\alpha \le 1 $, то, прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $ 0 < 1 + \sin\alpha \le 2 $.

Таким образом, знаменатель $ z = 1 + \sin\alpha $ принимает значения из полуинтервала $ (0; 2] $. Нам нужно найти диапазон значений для $ \frac{1}{z} $.

Наименьшее значение выражение $ \frac{1}{z} $ примет, когда знаменатель $ z $ будет наибольшим. Максимальное значение знаменателя равно 2 (при $ \sin\alpha = 1 $). Наименьшее значение выражения: $ \frac{1}{2} $.

Наибольшего значения у выражения не существует. По мере того как $ \sin\alpha $ приближается к -1, знаменатель $ 1 + \sin\alpha $ стремится к нулю, оставаясь положительным. В этом случае значение дроби $ \frac{1}{1 + \sin\alpha} $ неограниченно возрастает (стремится к $ +\infty $).

Ответ: Наименьшее значение равно $ \frac{1}{2} $, наибольшего значения не существует.

2) $ \frac{\cos^3\alpha}{\cos\alpha} $

Область допустимых значений выражения определяется условием неравенства знаменателя нулю: $ \cos\alpha \neq 0 $.

При этом условии мы можем упростить выражение: $ \frac{\cos^3\alpha}{\cos\alpha} = \cos^2\alpha $.

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ \cos^2\alpha $ при условии $ \cos\alpha \neq 0 $. Известно, что $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $. Условие $ \cos\alpha \neq 0 $ исключает только одно значение. Следовательно, $ \cos\alpha $ может принимать любые значения из множества $ [-1; 0) \cup (0; 1] $.

Возводя в квадрат, получаем значения для $ \cos^2\alpha $. Если $ \cos\alpha \in (0; 1] $, то $ \cos^2\alpha \in (0; 1] $. Если $ \cos\alpha \in [-1; 0) $, то $ \cos^2\alpha \in (0; 1] $. Объединяя эти множества, получаем, что $ \cos^2\alpha $ принимает значения из полуинтервала $ (0; 1] $.

Наибольшее значение выражения равно 1. Оно достигается, когда $ \cos\alpha = 1 $ или $ \cos\alpha = -1 $.

Наименьшего значения не существует, так как $ \cos^2\alpha $ может быть сколь угодно близко к нулю, но не может быть равно нулю из-за ограничения $ \cos\alpha \neq 0 $.

Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшего значения не существует.

3) $ \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} $

Область допустимых значений выражения определяется условием неравенства знаменателя нулю: $ \sin\alpha \neq 0 $.

При этом условии мы можем упростить выражение: $ \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 1 + \cos\alpha $.

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ 1 + \cos\alpha $ при условии $ \sin\alpha \neq 0 $. Условие $ \sin\alpha \neq 0 $ означает, что угол $ \alpha $ не может быть равен $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этих точках косинус принимает свои экстремальные значения: $ \cos(0) = 1 $, $ \cos(\pi) = -1 $, $ \cos(2\pi) = 1 $ и т.д. Следовательно, из-за ограничения $ \sin\alpha \neq 0 $, мы имеем $ \cos\alpha \neq 1 $ и $ \cos\alpha \neq -1 $.

Таким образом, значения $ \cos\alpha $ находятся в интервале $ (-1; 1) $. Теперь найдем диапазон значений для $ 1 + \cos\alpha $. Если $ -1 < \cos\alpha < 1 $, то, прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $ 0 < 1 + \cos\alpha < 2 $.

Множество значений нашего выражения — это интервал $ (0; 2) $. Так как концы интервала не включаются, выражение не достигает ни своего точного верхнего предела (2), ни своего точного нижнего предела (0).

Ответ: Наибольшего и наименьшего значений не существует.