Номер 18.16, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.16. Найдите область значений функции:

1) $y = \frac{2}{3-\cos x}$;

2) $y = \frac{1}{\sin x + 1}$;

3) $y = \frac{1}{1-2\cos x}$.

1) Для функции $y = \frac{2}{3 - \cos x}$ найдем область значений, исходя из области значений функции косинуса.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1; 1]$, то есть:
$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$1 \ge -\cos x \ge -1$, или, что то же самое, $-1 \le -\cos x \le 1$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 1 \le 3 - \cos x \le 3 + 1$
$2 \le 3 - \cos x \le 4$
Знаменатель $3 - \cos x$ всегда положителен и находится в пределах от 2 до 4. Так как функция $f(t) = \frac{1}{t}$ является убывающей на интервале $(0; +\infty)$, мы можем взять обратные величины, поменяв знаки неравенства:
$\frac{1}{4} \le \frac{1}{3 - \cos x} \le \frac{1}{2}$
Теперь умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot \frac{1}{4} \le \frac{2}{3 - \cos x} \le 2 \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \le y \le 1$
Таким образом, область значений функции - это отрезок $[\frac{1}{2}; 1]$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; 1]$.

2) Для функции $y = \frac{1}{\sin x + 1}$ найдем область значений, исходя из области значений функции синуса.
Область значений функции $\sin x$ - это отрезок $[-1; 1]$:
$-1 \le \sin x \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$
$0 \le \sin x + 1 \le 2$
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому мы должны исключить случай, когда $\sin x + 1 = 0$, то есть $\sin x = -1$.
Следовательно, знаменатель $ \sin x + 1 $ принимает значения из полуинтервала $(0; 2]$.
Пусть $t = \sin x + 1$, тогда $0 < t \le 2$. Нам нужно найти область значений функции $y = \frac{1}{t}$ при $t \in (0; 2]$.
Когда $t$ принимает наибольшее значение $t=2$, $y$ принимает наименьшее значение $y = \frac{1}{2}$.
Когда $t$ стремится к нулю справа ($t \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{t}$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).
Таким образом, область значений функции - это промежуток $[\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{1}{1 - 2\cos x}$ найдем область значений, исходя из области значений функции косинуса.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1; 1]$:
$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части неравенства на 2:
$-2 \le 2\cos x \le 2$
Умножим на -1, изменив знаки неравенства:
$2 \ge -2\cos x \ge -2$, или $-2 \le -2\cos x \le 2$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 2 \le 1 - 2\cos x \le 1 + 2$
$-1 \le 1 - 2\cos x \le 3$
Знаменатель $1 - 2\cos x$ не может быть равен нулю. Это происходит, когда $1 - 2\cos x = 0$, то есть $\cos x = \frac{1}{2}$. Так как это значение входит в область значений косинуса, мы должны исключить 0 из множества значений знаменателя.
Пусть $t = 1 - 2\cos x$. Тогда множество значений $t$ - это объединение промежутков $[-1; 0) \cup (0; 3]$.
Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{t}$ на этих промежутках:
1. Если $t \in (0; 3]$, то $y$ принимает значения от $\frac{1}{3}$ (при $t=3$) до $+\infty$ (при $t \to 0^+$). Таким образом, $y \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.
2. Если $t \in [-1; 0)$, то $y$ принимает значения от $-\infty$ (при $t \to 0^-$) до $-1$ (при $t=-1$). Таким образом, $y \in (-\infty; -1]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем область значений исходной функции.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.