Номер 18.15, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.15. Найдите область значений выражения:

1) $ \frac{1}{2 + \sin x} $;

2) $ \frac{1}{1 - \cos x} $;

3) $ \frac{2}{4 \sin x - 3} $.

1) Чтобы найти область значений выражения $ \frac{1}{2 + \sin x} $, сначала найдем область значений знаменателя $ 2 + \sin x $.

Область значений функции $ \sin x $ - это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, выполняется двойное неравенство:

$ -1 \le \sin x \le 1 $

Прибавим ко всем частям неравенства число 2:

$ 2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1 $

$ 1 \le 2 + \sin x \le 3 $

Знаменатель $ 2 + \sin x $ принимает значения от 1 до 3 включительно. Так как знаменатель всегда положителен, то мы можем оценить значение дроби. Функция $ y = \frac{1}{t} $ является убывающей на промежутке $ [1; 3] $. Поэтому наименьшее значение дроби будет достигаться при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее - при наименьшем.

Наименьшее значение выражения:

$ \frac{1}{\max(2 + \sin x)} = \frac{1}{3} $

Наибольшее значение выражения:

$ \frac{1}{\min(2 + \sin x)} = \frac{1}{1} = 1 $

Таким образом, область значений выражения - это отрезок $ [\frac{1}{3}; 1] $.

Ответ: $ [\frac{1}{3}; 1] $.

2) Найдем область значений выражения $ \frac{1}{1 - \cos x} $. Сначала определим область значений знаменателя $ 1 - \cos x $.

Область значений функции $ \cos x $ - это отрезок $ [-1; 1] $:

$ -1 \le \cos x \le 1 $

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$ -1 \cdot 1 \ge -1 \cdot \cos x \ge -1 \cdot (-1) $

$ -1 \le -\cos x \le 1 $

Прибавим ко всем частям неравенства число 1:

$ 1 - 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1 $

$ 0 \le 1 - \cos x \le 2 $

Выражение в знаменателе не может быть равно нулю, так как на ноль делить нельзя. Значит, $ 1 - \cos x \ne 0 $, или $ \cos x \ne 1 $. Поэтому знаменатель принимает значения из полуинтервала $ (0; 2] $.

Пусть $ t = 1 - \cos x $, тогда $ 0 < t \le 2 $. Рассмотрим функцию $ y = \frac{1}{t} $ на этом промежутке.

При $ t = 2 $ (наибольшее значение знаменателя), функция принимает наименьшее значение:

$ y_{min} = \frac{1}{2} $

Когда значение $ t $ стремится к нулю справа ($ t \to 0^+ $), значение дроби $ \frac{1}{t} $ стремится к плюс бесконечности ($ +\infty $). Таким образом, выражение не имеет наибольшего значения.

Область значений выражения - это луч $ [\frac{1}{2}; +\infty) $.

Ответ: $ [\frac{1}{2}; +\infty) $.

3) Найдем область значений выражения $ \frac{2}{4\sin x - 3} $. Сначала определим область значений знаменателя $ 4\sin x - 3 $.

Область значений функции $ \sin x $ - это отрезок $ [-1; 1] $:

$ -1 \le \sin x \le 1 $

Умножим все части неравенства на 4:

$ -4 \le 4\sin x \le 4 $

Вычтем из всех частей неравенства число 3:

$ -4 - 3 \le 4\sin x - 3 \le 4 - 3 $

$ -7 \le 4\sin x - 3 \le 1 $

Знаменатель $ 4\sin x - 3 $ принимает значения от -7 до 1 включительно. Однако знаменатель не может быть равен нулю. Найдем, когда $ 4\sin x - 3 = 0 $: это происходит при $ \sin x = \frac{3}{4} $. Такое значение $ \sin x $ возможно, поэтому точка 0 должна быть исключена из области значений знаменателя.

Таким образом, знаменатель $ t = 4\sin x - 3 $ принимает значения из объединения двух промежутков: $ [-7; 0) \cup (0; 1] $.

Рассмотрим поведение функции $ y = \frac{2}{t} $ на каждом из этих промежутков.

1. Если $ t \in [-7; 0) $ (знаменатель отрицательный):

Функция $ y = \frac{2}{t} $ является убывающей. Наибольшее значение на этом промежутке достигается при $ t = -7 $ и равно $ \frac{2}{-7} = -\frac{2}{7} $. Когда $ t $ стремится к нулю слева ($ t \to 0^- $), значение $ y $ стремится к минус бесконечности ($ -\infty $). Значит, на этом промежутке значения выражения принадлежат лучу $ (-\infty; -\frac{2}{7}] $.

2. Если $ t \in (0; 1] $ (знаменатель положительный):

Функция $ y = \frac{2}{t} $ также является убывающей. Наименьшее значение на этом промежутке достигается при $ t = 1 $ и равно $ \frac{2}{1} = 2 $. Когда $ t $ стремится к нулю справа ($ t \to 0^+ $), значение $ y $ стремится к плюс бесконечности ($ +\infty $). Значит, на этом промежутке значения выражения принадлежат лучу $ [2; +\infty) $.

Объединяя результаты для обоих случаев, получаем, что область значений исходного выражения есть объединение двух лучей: $ (-\infty; -\frac{2}{7}] \cup [2; +\infty) $.

Ответ: $ (-\infty; -\frac{2}{7}] \cup [2; +\infty) $.