Номер 19.3, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.3. Найдите значение выражения:

1) $5\text{tg}0 + 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 3\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 4\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

2) $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\cos(-\pi) + 4\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right).$

1) $5\tg{0} + 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 3\ctg(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{\pi}{2})$

Для нахождения значения выражения, вычислим значение каждого слагаемого, используя табличные значения тригонометрических функций и их свойства четности/нечетности:

• $\sin(-x) = -\sin(x)$ (нечетная функция)
• $\cos(-x) = \cos(x)$ (четная функция)
• $\tg(-x) = -\tg(x)$ (нечетная функция)
• $\ctg(-x) = -\ctg(x)$ (нечетная функция)

1. Значение $\tg{0}$ равно $0$.
$5\tg{0} = 5 \cdot 0 = 0$.

2. Значение $\sin(\frac{\pi}{6})$ равно $\frac{1}{2}$.
$2\sin(-\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{6})) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.

3. Значение $\ctg(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.
$-3\ctg(-\frac{\pi}{4}) = -3 \cdot (-\ctg(\frac{\pi}{4})) = -3 \cdot (-1) = 3$.

4. Значение $\cos(\frac{\pi}{2})$ равно $0$.
$4\cos(-\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot 0 = 0$.

Теперь сложим полученные значения:
$5\tg{0} + 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 3\ctg(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 + (-1) + 3 + 0 = 2$.

Ответ: 2

2) $\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6}) + 2\cos(-\pi) + 4\sin^2(-\frac{\pi}{3})$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

1. Вычислим произведение $\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6})$.
$\tg(-\frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
$\ctg(-\frac{\pi}{6}) = -\ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.
$\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6}) = (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 3$.

2. Вычислим $2\cos(-\pi)$.
$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
$2\cos(-\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Вычислим $4\sin^2(-\frac{\pi}{3})$.
$\sin^2(-\frac{\pi}{3})$ это то же самое, что и $(\sin(-\frac{\pi}{3}))^2$.
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$4\sin^2(-\frac{\pi}{3}) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 \cdot (\frac{3}{4}) = 3$.

Теперь сложим полученные результаты:
$3 + (-2) + 3 = 4$.

Ответ: 4