Номер 19.5, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.5. Известно, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\sin \alpha \operatorname{tg} \alpha$;

2) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$;

3) $\sin \alpha - \cos \alpha$.

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти.

Определим знаки тригонометрических функций для угла во второй четверти:

• $\sin \alpha > 0$ (синус положителен, так как ордината точки на единичной окружности положительна).
• $\cos \alpha < 0$ (косинус отрицателен, так как абсцисса точки на единичной окружности отрицательна).
• $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен, то тангенс отрицателен: $\tg \alpha < 0$.

1) $\sin \alpha \tg \alpha$

Данное выражение является произведением $\sin \alpha$ и $\tg \alpha$. Мы установили, что $\sin \alpha > 0$ и $\tg \alpha < 0$. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное. Таким образом, $\sin \alpha \cdot \tg \alpha < 0$.

Ответ: $\sin \alpha \tg \alpha < 0$.

2) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя дроби. Числитель: $\sin^3 \alpha$. Поскольку $\sin \alpha > 0$, то его куб $\sin^3 \alpha$ также будет положительным. Знаменатель: $\cos \alpha < 0$. Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным числом. Следовательно, $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.

Ответ: $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.

3) $\sin \alpha - \cos \alpha$

Это выражение является разностью. Уменьшаемое $\sin \alpha$ является положительным числом ($\sin \alpha > 0$). Вычитаемое $\cos \alpha$ является отрицательным числом ($\cos \alpha < 0$). Вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению соответствующего ему положительного числа. То есть, $\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + (-\cos \alpha)$. Поскольку $\cos \alpha < 0$, то $-\cos \alpha > 0$. В результате мы имеем сумму двух положительных чисел ($\sin \alpha$ и $-\cos \alpha$), которая всегда будет положительна. Следовательно, $\sin \alpha - \cos \alpha > 0$.

Ответ: $\sin \alpha - \cos \alpha > 0$.