Номер 19.11, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.11. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0$;

3) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha + |\operatorname{ctg} \alpha| = 0$ и $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$?

Для определения четверти, которой принадлежит угол $\alpha$, мы будем использовать знаки тригонометрических функций в каждой из четырех координатных четвертей:

• I четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha > 0$, $tg \alpha > 0$, $ctg \alpha > 0$
• II четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha < 0$, $tg \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$
• III четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha < 0$, $tg \alpha > 0$, $ctg \alpha > 0$
• IV четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$, $tg \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$

1) sin α > 0 и cos α < 0;

Условие $sin \alpha > 0$ означает, что угол $\alpha$ находится в I или II четверти. Условие $cos \alpha < 0$ означает, что угол $\alpha$ находится во II или III четверти. Чтобы оба условия выполнялись одновременно, угол $\alpha$ должен находиться в той четверти, которая является общей для обоих условий. Такой четвертью является вторая.
Ответ: II четверть.

2) sin α < 0 и tg α > 0;

Условие $sin \alpha < 0$ выполняется для углов в III и IV четвертях. Условие $tg \alpha > 0$ выполняется для углов в I и III четвертях (так как тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки). Общей для этих двух условий является третья четверть.
Ответ: III четверть.

3) |sin α| = sin α и α ≠ πk/2, k ∈ Z;

Равенство $|sin \alpha| = sin \alpha$ выполняется тогда и только тогда, когда $sin \alpha \geq 0$. Синус неотрицателен в I и II четвертях, а также на их границах (при углах $0, \pi, 2\pi,$ и т.д.). Условие $\alpha \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$, исключает углы, лежащие на координатных осях ($0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \ldots$). Следовательно, из множества углов, где $sin \alpha \geq 0$, мы убираем граничные значения. Таким образом, угол $\alpha$ должен находиться строго внутри I или II четверти.
Ответ: I или II четверть.

4) ctg α + |ctg α| = 0 и α ≠ π/2 + πk, k ∈ Z?

Равенство $ctg \alpha + |ctg \alpha| = 0$ можно переписать в виде $|ctg \alpha| = -ctg \alpha$. Это равенство верно только в том случае, если $ctg \alpha \leq 0$. Котангенс отрицателен во II и IV четвертях. Котангенс равен нулю при $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Второе условие, $\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, как раз исключает случаи, когда $ctg \alpha = 0$. Следовательно, нам остаются только те углы, для которых $ctg \alpha < 0$, а это углы, расположенные во II и IV четвертях.
Ответ: II или IV четверть.