Номер 19.14, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.14. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x}$;

2) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$;

3) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^3 - 1}$.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.
   Если ни одно из этих равенств не выполняется, или если область определения несимметрична, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = \frac{\sin x + \tg x}{\sin x - \tg x}$

Сначала найдём область определения $D(f)$.
Во-первых, тангенс определён, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sin x - \tg x \neq 0$.
$\sin x - \frac{\sin x}{\cos x} \neq 0 \implies \sin x \left(1 - \frac{1}{\cos x}\right) \neq 0$.
Это значит, что $\sin x \neq 0$ (т.е. $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$) и $\cos x \neq 1$ (т.е. $x \neq 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$).
Объединяя все условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$. Эта область определения симметрична относительно нуля, так как если $x_0$ удовлетворяет этому условию, то и $-x_0$ ему удовлетворяет.

Теперь проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдём $f(-x)$.
Используем свойства тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная) и $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная).
$f(-x) = \frac{\sin(-x) + \tg(-x)}{\sin(-x) - \tg(-x)} = \frac{-\sin x - \tg x}{-\sin x - (-\tg x)} = \frac{-(\sin x + \tg x)}{-(\sin x - \tg x)} = \frac{\sin x + \tg x}{\sin x - \tg x}$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

2) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$

Найдём область определения $D(f)$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Теперь найдём $f(-x)$.
Используем свойства функций: $\cos(-x) = \cos x$ (чётная) и $(-x)^2 = x^2$ (чётная).
$f(-x) = \frac{\cos(-x)}{(-x)^2 - 1} = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

3) $f(x) = \frac{\tg^2 x}{x^3 - 1}$

Найдём область определения $D(f)$.
Тангенс определён, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 1 \neq 0 \implies x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$.
Область определения $D(f)$ состоит из всех действительных чисел, кроме $x=1$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим симметричность области определения. Возьмём точку $x = -1$. Она принадлежит области определения, так как $-1 \neq 1$ и $-1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Однако, противоположная точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит области определения.
Поскольку область определения функции не является симметричной относительно нуля, первое условие для определения чётности/нечётности не выполняется. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: ни чётная, ни нечётная.