Номер 19.12, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.12. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha > 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0$;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha < 0$;

3) $\left| \cos \alpha \right| = -\cos \alpha$ и $\alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$;

4) $\left| \operatorname{tg} \alpha \right| - \operatorname{tg} \alpha = 0$ и $\alpha \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$?

1) Для нахождения четверти, в которой находится угол $ \alpha $, проанализируем оба условия.
Первое условие: $ \cos \alpha > 0 $. Косинус - это абсцисса точки на единичной окружности. Положительные значения абсциссы находятся в I и IV четвертях.
Второе условие: $ \tg \alpha > 0 $. Тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это происходит в I ($ \sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0 $) и III ($ \sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0 $) четвертях.
Оба условия ($ \cos \alpha > 0 $ и $ \tg \alpha > 0 $) выполняются одновременно только в I четверти.
Ответ: I четверть.

2) Рассмотрим условия для определения четверти угла $ \alpha $.
Первое условие: $ \sin \alpha < 0 $. Синус - это ордината точки на единичной окружности. Отрицательные значения ординаты находятся в III и IV четвертях.
Второе условие: $ \ctg \alpha < 0 $. Котангенс отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это происходит во II ($ \sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0 $) и IV ($ \sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0 $) четвертях.
Оба условия ($ \sin \alpha < 0 $ и $ \ctg \alpha < 0 $) выполняются одновременно только в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

3) Проанализируем данные условия.
Первое условие: $ |\cos \alpha| = -\cos \alpha $. Равенство вида $ |x| = -x $ выполняется тогда и только тогда, когда $ x \le 0 $. Следовательно, $ \cos \alpha \le 0 $. Косинус неположителен во II и III четвертях, а также на вертикальной оси (где $ \cos \alpha = 0 $).
Второе условие: $ \alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $. Это условие означает, что угол $ \alpha $ не может лежать на координатных осях. В частности, $ \alpha $ не может быть равен $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, где $ \cos \alpha = 0 $.
Объединяя оба условия, получаем, что $ \cos \alpha $ должен быть строго меньше нуля: $ \cos \alpha < 0 $. Это неравенство выполняется для всех углов во II и III четвертях.
Ответ: II или III четверть.

4) Проанализируем данные условия.
Первое условие: $ |\tg \alpha| - \tg \alpha = 0 $, что эквивалентно $ |\tg \alpha| = \tg \alpha $. Равенство вида $ |x| = x $ выполняется тогда и только тогда, когда $ x \ge 0 $. Следовательно, $ \tg \alpha \ge 0 $. Тангенс неотрицателен в I и III четвертях, а также на горизонтальной оси (где $ \tg \alpha = 0 $).
Второе условие: $ \alpha \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Это условие означает, что угол $ \alpha $ не может лежать на горизонтальной оси, то есть там, где $ \tg \alpha = 0 $.
Объединяя оба условия, получаем, что $ \tg \alpha $ должен быть строго больше нуля: $ \tg \alpha > 0 $. Это неравенство выполняется для всех углов в I и III четвертях.
Ответ: I или III четверть.