Страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.12. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha > 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0$;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha < 0$;

3) $\left| \cos \alpha \right| = -\cos \alpha$ и $\alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$;

4) $\left| \operatorname{tg} \alpha \right| - \operatorname{tg} \alpha = 0$ и $\alpha \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$?

1) Для нахождения четверти, в которой находится угол $ \alpha $, проанализируем оба условия.
Первое условие: $ \cos \alpha > 0 $. Косинус - это абсцисса точки на единичной окружности. Положительные значения абсциссы находятся в I и IV четвертях.
Второе условие: $ \tg \alpha > 0 $. Тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это происходит в I ($ \sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0 $) и III ($ \sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0 $) четвертях.
Оба условия ($ \cos \alpha > 0 $ и $ \tg \alpha > 0 $) выполняются одновременно только в I четверти.
Ответ: I четверть.

2) Рассмотрим условия для определения четверти угла $ \alpha $.
Первое условие: $ \sin \alpha < 0 $. Синус - это ордината точки на единичной окружности. Отрицательные значения ординаты находятся в III и IV четвертях.
Второе условие: $ \ctg \alpha < 0 $. Котангенс отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это происходит во II ($ \sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0 $) и IV ($ \sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0 $) четвертях.
Оба условия ($ \sin \alpha < 0 $ и $ \ctg \alpha < 0 $) выполняются одновременно только в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

3) Проанализируем данные условия.
Первое условие: $ |\cos \alpha| = -\cos \alpha $. Равенство вида $ |x| = -x $ выполняется тогда и только тогда, когда $ x \le 0 $. Следовательно, $ \cos \alpha \le 0 $. Косинус неположителен во II и III четвертях, а также на вертикальной оси (где $ \cos \alpha = 0 $).
Второе условие: $ \alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $. Это условие означает, что угол $ \alpha $ не может лежать на координатных осях. В частности, $ \alpha $ не может быть равен $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, где $ \cos \alpha = 0 $.
Объединяя оба условия, получаем, что $ \cos \alpha $ должен быть строго меньше нуля: $ \cos \alpha < 0 $. Это неравенство выполняется для всех углов во II и III четвертях.
Ответ: II или III четверть.

4) Проанализируем данные условия.
Первое условие: $ |\tg \alpha| - \tg \alpha = 0 $, что эквивалентно $ |\tg \alpha| = \tg \alpha $. Равенство вида $ |x| = x $ выполняется тогда и только тогда, когда $ x \ge 0 $. Следовательно, $ \tg \alpha \ge 0 $. Тангенс неотрицателен в I и III четвертях, а также на горизонтальной оси (где $ \tg \alpha = 0 $).
Второе условие: $ \alpha \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Это условие означает, что угол $ \alpha $ не может лежать на горизонтальной оси, то есть там, где $ \tg \alpha = 0 $.
Объединяя оба условия, получаем, что $ \tg \alpha $ должен быть строго больше нуля: $ \tg \alpha > 0 $. Это неравенство выполняется для всех углов в I и III четвертях.
Ответ: I или III четверть.

19.13. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{\text{tg } x}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$;

3) $f(x) = \frac{(x-1)\cos x}{x-1}$.

Для того чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

1) $f(x) = \frac{\tg x}{x}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю ($x \neq 0$) и если определён тангенс ($\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$).
Итак, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.
Эта область определения симметрична относительно начала координат, так как если $x$ удовлетворяет этим условиям, то и $-x$ будет им удовлетворять.

2. Найдём значение $f(-x)$.
$f(-x) = \frac{\tg(-x)}{-x}$.
Так как тангенс — нечётная функция, $\tg(-x) = -\tg x$.
$f(-x) = \frac{-\tg x}{-x} = \frac{\tg x}{x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю: $1 - \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq 1$.
Это выполняется при $x \neq 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Итак, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.
Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение $f(-x)$.
$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1 - \cos(-x)}$.
Используем свойства чётности тригонометрических функций: синус — нечётная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), а косинус — чётная ($\cos(-x) = \cos x$).
$f(-x) = \frac{(-x)(-\sin x)}{1 - \cos x} = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \frac{(x-1) \cos x}{x-1}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Итак, $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность.
Возьмём точку $x = -1$. Она принадлежит области определения, так как $-1 \neq 1$.
Однако симметричная ей точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит области определения.
Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, первое условие для чётности/нечётности не выполняется.

Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной. Обратите внимание, что хотя выражение можно сократить до $\cos x$ при $x \neq 1$, исходная функция $f(x)$ не определена в точке $x=1$, что и нарушает симметрию.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

19.14. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x}$;

2) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$;

3) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^3 - 1}$.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.
   Если ни одно из этих равенств не выполняется, или если область определения несимметрична, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = \frac{\sin x + \tg x}{\sin x - \tg x}$

Сначала найдём область определения $D(f)$.
Во-первых, тангенс определён, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sin x - \tg x \neq 0$.
$\sin x - \frac{\sin x}{\cos x} \neq 0 \implies \sin x \left(1 - \frac{1}{\cos x}\right) \neq 0$.
Это значит, что $\sin x \neq 0$ (т.е. $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$) и $\cos x \neq 1$ (т.е. $x \neq 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$).
Объединяя все условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$. Эта область определения симметрична относительно нуля, так как если $x_0$ удовлетворяет этому условию, то и $-x_0$ ему удовлетворяет.

Теперь проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдём $f(-x)$.
Используем свойства тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная) и $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная).
$f(-x) = \frac{\sin(-x) + \tg(-x)}{\sin(-x) - \tg(-x)} = \frac{-\sin x - \tg x}{-\sin x - (-\tg x)} = \frac{-(\sin x + \tg x)}{-(\sin x - \tg x)} = \frac{\sin x + \tg x}{\sin x - \tg x}$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

2) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$

Найдём область определения $D(f)$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Теперь найдём $f(-x)$.
Используем свойства функций: $\cos(-x) = \cos x$ (чётная) и $(-x)^2 = x^2$ (чётная).
$f(-x) = \frac{\cos(-x)}{(-x)^2 - 1} = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

3) $f(x) = \frac{\tg^2 x}{x^3 - 1}$

Найдём область определения $D(f)$.
Тангенс определён, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 1 \neq 0 \implies x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$.
Область определения $D(f)$ состоит из всех действительных чисел, кроме $x=1$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим симметричность области определения. Возьмём точку $x = -1$. Она принадлежит области определения, так как $-1 \neq 1$ и $-1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Однако, противоположная точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит области определения.
Поскольку область определения функции не является симметричной относительно нуля, первое условие для определения чётности/нечётности не выполняется. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: ни чётная, ни нечётная.