Страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.2. Найдите значение выражения:

1) $tg(-315^\circ)$;

2) $sin 1110^\circ$;

3) $cos \frac{7\pi}{3}$;

4) $sin \left(-\frac{9\pi}{4}\right)$;

5) $ctg \left(-\frac{10\pi}{3}\right)$.

1) tg(-315°)

Воспользуемся свойством нечетности тангенса, которое гласит, что $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$, и периодичностью тангенса с периодом $180°$ (а значит и $360°$).

Способ 1: Использование нечетности и формул приведения.

$tg(-315°) = -tg(315°)$

Угол $315°$ находится в IV четверти. Представим его как $360° - 45°$.

$tg(315°) = tg(360° - 45°) = -tg(45°)$

Так как $tg(45°) = 1$, то $tg(315°) = -1$.

Следовательно, $tg(-315°) = -(-1) = 1$.

Способ 2: Использование периодичности.

Прибавим к аргументу полный оборот $360°$, чтобы получить положительный угол.

$tg(-315°) = tg(-315° + 360°) = tg(45°)$

Значение $tg(45°)$ является табличным и равно 1.

$tg(-315°) = 1$

Ответ: 1

2) sin 1110°

Функция синус периодична с периодом $360°$. Это означает, что $sin(\alpha + 360° \cdot n) = sin(\alpha)$ для любого целого $n$.

Найдем, сколько полных оборотов ($360°$) содержится в $1110°$. Для этого разделим $1110$ на $360$ с остатком.

$1110 = 3 \cdot 360 + 30$

Следовательно, $1110° = 3 \cdot 360° + 30°$.

$sin(1110°) = sin(3 \cdot 360° + 30°) = sin(30°)$

Значение $sin(30°)$ является табличным.

$sin(30°) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) cos $\frac{7\pi}{3}$

Функция косинус периодична с периодом $2\pi$. Это означает, что $cos(\alpha + 2\pi \cdot n) = cos(\alpha)$ для любого целого $n$.

Представим дробь $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы целого числа оборотов ($2\pi$) и остатка.

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Таким образом, мы можем использовать свойство периодичности:

$cos(\frac{7\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3})$

Значение $cos(\frac{\pi}{3})$ является табличным.

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) sin $(-\frac{9\pi}{4})$

Воспользуемся свойством нечетности функции синус, $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$, и ее периодичностью с периодом $2\pi$.

$sin(-\frac{9\pi}{4}) = -sin(\frac{9\pi}{4})$

Теперь упростим аргумент $\frac{9\pi}{4}$, выделив целое число оборотов.

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

Применяем свойство периодичности синуса:

$sin(\frac{9\pi}{4}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4})$

Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным.

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Возвращаемся к исходному выражению:

$sin(-\frac{9\pi}{4}) = -sin(\frac{9\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

5) ctg $(-\frac{10\pi}{3})$

Воспользуемся свойством нечетности функции котангенс, $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$, и ее периодичностью с периодом $\pi$.

$ctg(-\frac{10\pi}{3}) = -ctg(\frac{10\pi}{3})$

Упростим аргумент $\frac{10\pi}{3}$, выделив целое число периодов $\pi$.

$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = \frac{9\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$

Применяем свойство периодичности котангенса:

$ctg(\frac{10\pi}{3}) = ctg(3\pi + \frac{\pi}{3}) = ctg(\frac{\pi}{3})$

Значение $ctg(\frac{\pi}{3})$ является табличным.

$ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Возвращаемся к исходному выражению:

$ctg(-\frac{10\pi}{3}) = -ctg(\frac{10\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

20.3. Докажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = \text{ctg} \pi x, T = 3;$

2) $f(x) = \sin(5x - 2), T = \frac{4\pi}{5}.$

1)

Чтобы доказать, что число $T=3$ является периодом функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:
1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Область определения функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$ — это все действительные числа $x$, для которых аргумент котангенса не равен $k\pi$, где $k$ — любое целое число.
$\pi x \neq k\pi \implies x \neq k$.
Таким образом, область определения $D(f)$ — это все действительные числа, кроме целых.

Если $x \in D(f)$, то $x$ не является целым числом. Тогда $x+3$ и $x-3$ также не являются целыми числами, а значит, они принадлежат области определения функции. Первое условие выполнено.

Проверим второе условие. Найдем $f(x+T)$:
$f(x+T) = f(x+3) = \text{ctg}(\pi(x+3)) = \text{ctg}(\pi x + 3\pi)$.

Основной период функции $y = \text{ctg}(x)$ равен $\pi$. Это означает, что $\text{ctg}(z + n\pi) = \text{ctg}(z)$ для любого целого числа $n$. В нашем случае $z = \pi x$, а $n=3$, что является целым числом.

Следовательно:
$\text{ctg}(\pi x + 3\pi) = \text{ctg}(\pi x) = f(x)$.

Мы показали, что $f(x+3) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Таким образом, $T=3$ является периодом функции.

Ответ: Число $T=3$ является периодом функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$, что и требовалось доказать.

2)

Чтобы доказать, что число $T=\frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняются условия:
1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Область определения функции $f(x) = \sin(5x-2)$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, так как функция синус определена для любого действительного аргумента. Если $x \in \mathbb{R}$, то и $x + \frac{4\pi}{5}$ также принадлежит $\mathbb{R}$. Первое условие выполнено.

Проверим второе условие. Найдем $f(x+T)$:
$f(x+T) = f(x+\frac{4\pi}{5}) = \sin(5(x+\frac{4\pi}{5}) - 2)$.

Упростим выражение в аргументе синуса:
$5(x+\frac{4\pi}{5}) - 2 = 5x + 5 \cdot \frac{4\pi}{5} - 2 = 5x + 4\pi - 2$.

Таким образом, получаем:
$f(x+\frac{4\pi}{5}) = \sin((5x-2) + 4\pi)$.

Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $2\pi$. Это означает, что $\sin(z + 2n\pi) = \sin(z)$ для любого целого числа $n$. В нашем случае $z = 5x-2$, а $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, то есть $n=2$, что является целым числом.

Следовательно:
$\sin((5x-2) + 4\pi) = \sin(5x-2) = f(x)$.

Мы показали, что $f(x+\frac{4\pi}{5}) = f(x)$ для всех $x$. Таким образом, $T=\frac{4\pi}{5}$ является периодом функции.

Ответ: Число $T=\frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$, что и требовалось доказать.

20.4. Докажите, что числа $\frac{2\pi}{3}$ и $-4\pi$ являются периодами функции $f(x) = \cos 3x$.

Согласно определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Область определения функции $f(x) = \cos(3x)$ — множество всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$), поэтому для любого $x$ и любого $T$ число $(x+T)$ также принадлежит области определения.

Для числа $\frac{2\pi}{3}$

Проверим выполнение равенства $f(x+T)=f(x)$ для $T = \frac{2\pi}{3}$.

$f(x + \frac{2\pi}{3}) = \cos(3(x + \frac{2\pi}{3})) = \cos(3x + 3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(3x + 2\pi)$.

Так как функция косинус имеет основной период $2\pi$, справедливо равенство $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$. Поэтому:

$\cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = f(x)$.

Таким образом, равенство $f(x + \frac{2\pi}{3}) = f(x)$ выполняется для всех $x$, и число $\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции.

Ответ: Доказано, что число $\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$.

Для числа $-4\pi$

Проверим выполнение равенства $f(x+T)=f(x)$ для $T = -4\pi$.

$f(x - 4\pi) = \cos(3(x - 4\pi)) = \cos(3x - 12\pi)$.

Периодом функции косинус является любое число вида $2\pi k$, где $k$ — целое число, то есть $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$. В данном случае $-12\pi = 2\pi \cdot (-6)$, то есть $k=-6$. Следовательно:

$\cos(3x - 12\pi) = \cos(3x) = f(x)$.

Таким образом, равенство $f(x - 4\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x$, и число $-4\pi$ является периодом функции.

Ответ: Доказано, что число $-4\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$.

20.5. Найдите главный период функции:

1) $f(x) = \text{tg}(2x + 1)$;

2) $f(x) = \sin 2\pi x$;

3) $f(x) = \cos \sqrt{3}x$;

4) $f(x) = \{6x + \frac{5}{8}\}$.

Для нахождения главного (наименьшего положительного) периода функции вида $f(x) = g(kx+b)$, где $T_g$ - главный период функции $g(x)$, используется формула $T_f = \frac{T_g}{|k|}$.

1) $f(x) = \tg(2x + 1)$

Главный период функции тангенса $g(u) = \tg(u)$ равен $\pi$. Для функции $f(x) = \tg(2x + 1)$, коэффициент при $x$ равен $k=2$. Следовательно, главный период этой функции равен: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2) $f(x) = \sin(2\pi x)$

Главный период функции синуса $g(u) = \sin(u)$ равен $2\pi$. Для функции $f(x) = \sin(2\pi x)$, коэффициент при $x$ равен $k=2\pi$. Следовательно, главный период этой функции равен: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.

Ответ: $1$

3) $f(x) = \cos(\sqrt{3}x)$

Главный период функции косинуса $g(u) = \cos(u)$ равен $2\pi$. Для функции $f(x) = \cos(\sqrt{3}x)$, коэффициент при $x$ равен $k=\sqrt{3}$. Следовательно, главный период этой функции равен: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|\sqrt{3}|} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$

4) $f(x) = \{6x + \frac{5}{8}\}$

Здесь $\{u\}$ обозначает дробную часть числа $u$. Главный период функции дробной части $g(u) = \{u\}$ равен $1$. Для функции $f(x) = \{6x + \frac{5}{8}\}$, коэффициент при $x$ равен $k=6$. Следовательно, главный период этой функции равен: $T = \frac{1}{|k|} = \frac{1}{|6|} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

20.6. Найдите главный период функции:

1) $f(x) = \sin (3x - 1);$

2) $f(x) = \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3}+4\right);$

3) $f(x) = \left\{\frac{x}{4}-2\right\}.$

1) Главный период функции $y = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A\sin(kx + b)$ главный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \sin(3x - 1)$ коэффициент $k = 3$. Таким образом, главный период равен $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

2) Главный период функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ равен $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = A\operatorname{ctg}(kx + b)$ главный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \operatorname{ctg}(\frac{x}{3} + 4)$ коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Таким образом, главный период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$.

3) Функция $f(x) = \{\frac{x}{4} - 2\}$ представляет собой дробную часть числа. Главный период функции $y = \{x\}$ равен $T_0 = 1$. Поскольку для любого целого числа $n$ справедливо свойство $\{a - n\} = \{a\}$, то $f(x) = \{\frac{x}{4} - 2\} = \{\frac{x}{4}\}$. Для функции вида $y = \{kx + b\}$ главный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае $k = \frac{1}{4}$, поэтому главный период равен $T = \frac{1}{|\frac{1}{4}|} = 4$.
Ответ: $4$.

20.7. Докажите, что число $\pi$ является периодом функции $y=\sqrt{-\sin^2 x}$.

Чтобы доказать, что число $T = \pi$ является периодом функции $f(x) = \sqrt{-\sin^2 x}$, необходимо проверить выполнение двух условий для любого $x$ из области определения функции $D(f)$:
1) Число $(x + T)$ также должно принадлежать области определения.
2) Должно выполняться равенство $f(x + T) = f(x)$.

Шаг 1: Нахождение области определения функции

Функция $y = \sqrt{-\sin^2 x}$ определена только в том случае, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $$-\sin^2 x \ge 0$$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $$\sin^2 x \le 0$$

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $\sin^2 x \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, неравенство $\sin^2 x \le 0$ может выполняться только в одном случае — когда $\sin^2 x$ равно нулю: $$\sin^2 x = 0$$

Это уравнение эквивалентно следующему: $$\sin x = 0$$

Решениями данного тригонометрического уравнения являются значения: $$x = k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \text{ (множество целых чисел)}$$

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это дискретное множество точек $\{ \dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \}$.

Шаг 2: Проверка условий периодичности для $T = \pi$

Возьмем произвольное значение $x$ из области определения $D(f)$. Это означает, что $x$ имеет вид $x = k\pi$ для некоторого целого числа $k$.

Проверка первого условия:
Проверим, принадлежит ли точка $(x + \pi)$ области определения функции. $$x + \pi = k\pi + \pi = (k+1)\pi$$
Поскольку $k$ — целое число, то и $(k+1)$ также является целым числом. Следовательно, точка $(x+\pi)$ имеет вид $n\pi$ (где $n=k+1$), а значит, принадлежит области определения $D(f)$. Первое условие выполнено.

Проверка второго условия:
Проверим, выполняется ли равенство $f(x+\pi) = f(x)$.
Сначала найдем значение функции $f(x)$ для любого $x$ из ее области определения. Так как для $x = k\pi$ значение $\sin x = 0$, то: $$f(x) = \sqrt{-\sin^2 x} = \sqrt{-0^2} = 0$$
Теперь найдем значение функции в точке $(x+\pi)$. Мы уже показали, что эта точка принадлежит области определения, следовательно, $\sin(x+\pi) = \sin(k\pi+\pi) = 0$. $$f(x+\pi) = \sqrt{-\sin^2(x+\pi)} = \sqrt{-0^2} = 0$$
Таким образом, мы видим, что $f(x+\pi) = 0$ и $f(x) = 0$, из чего следует равенство $f(x+\pi) = f(x)$. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия из определения периода функции выполняются для $T=\pi$, число $\pi$ является периодом функции $y = \sqrt{-\sin^2 x}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

20.8. Найдите главный период функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\cos^2 x}}$.

Для нахождения главного периода функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\cos^2 x}}$ сначала определим её область определения. Функция определена, когда выражение под корнем неотрицательно, а знаменатель не равен нулю.

1. Условие на знаменатель: $\cos^2 x \neq 0$, что эквивалентно $\cos x \neq 0$.

2. Условие на подкоренное выражение: $1 - \frac{1}{\cos^2 x} \ge 0$.

Упростим подкоренное выражение, приведя его к общему знаменателю:$1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$, получаем:$\frac{-\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tan^2 x$.

Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде $f(x) = \sqrt{-\tan^2 x}$.

Теперь условие неотрицательности подкоренного выражения принимает вид:$-\tan^2 x \ge 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $\tan^2 x \ge 0$ для всех $x$ из области определения тангенса. Следовательно, выражение $-\tan^2 x$ всегда неположительно ($-\tan^2 x \le 0$).

Неравенство $-\tan^2 x \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда обе части равны нулю.$-\tan^2 x = 0 \implies \tan x = 0$.

Решениями уравнения $\tan x = 0$ являются значения $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).Для этих значений $x$ косинус равен $\cos(n\pi) = \pm 1$, что удовлетворяет условию $\cos x \neq 0$.

Итак, область определения функции $D(f)$ — это дискретное множество точек $D(f) = \{ n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \}$. В каждой точке из области определения значение функции равно:$f(n\pi) = \sqrt{-\tan^2(n\pi)} = \sqrt{-0} = 0$.

Теперь найдем главный период. Число $T > 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ значение $x+T$ также принадлежит $D(f)$ и $f(x+T) = f(x)$. Поскольку $f(x) = 0$ для всех $x \in D(f)$, условие $f(x+T) = f(x)$ (то есть $0=0$) выполняется автоматически для любого $T$, удовлетворяющего первому условию.

Нам нужно найти наименьшее положительное число $T$ такое, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$. Пусть $x = n\pi$ для некоторого целого $n$. Тогда $x+T$ должно быть равно $m\pi$ для некоторого целого $m$.$n\pi + T = m\pi \implies T = m\pi - n\pi = (m-n)\pi$.

Так как $T>0$, разность $(m-n)$ должна быть положительным целым числом. Наименьшее положительное целое число — это 1. Следовательно, наименьший положительный период (главный период) функции соответствует $m-n=1$, то есть $T = \pi$.

Ответ: $\pi$.

20.9. Найдите главный период функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 x}}$.

Для нахождения главного периода функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 x}}$ необходимо сначала найти ее область определения.

Функция определена, когда выражение под квадратным корнем неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} 1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0 \\ \sin^2 x \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство, приведя выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0 \implies \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} \ge 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим $\sin^2 x - 1$ на $-\cos^2 x$:

$\frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x} \ge 0$

Поскольку $\sin^2 x > 0$ (из второго условия системы $\sin^2 x \ne 0$), знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к следующему:

$-\cos^2 x \ge 0$

Так как $\cos^2 x$ всегда является неотрицательной величиной ($\cos^2 x \ge 0$), то $-\cos^2 x$ всегда неположительно ($-\cos^2 x \le 0$). Единственный случай, когда неравенство $-\cos^2 x \ge 0$ выполняется, — это когда обе части равны нулю:

$-\cos^2 x = 0 \implies \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$

Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

При этих значениях $x$, $\sin^2 x = \sin^2(\frac{\pi}{2} + k\pi) = 1$, что удовлетворяет условию $\sin^2 x \ne 0$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это дискретное множество точек: $D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$.

Теперь найдем значение функции в точках из ее области определения. Поскольку для всех $x \in D(f)$ выполняется $\cos x = 0$, то:

$f(x) = \sqrt{\frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x}} = \sqrt{\frac{-0^2}{1}} = \sqrt{0} = 0$

Функция $f(x)$ является константой, равной 0, на своей области определения.

Периодом $T \ne 0$ функции $f(x)$ называется такое число, что для любого $x$ из области определения $D(f)$, число $x+T$ также принадлежит $D(f)$ и $f(x+T) = f(x)$. Поскольку $f(x)=0$ на всей области определения, второе условие ($0=0$) всегда выполняется. Следовательно, период определяется только структурой области определения.

Мы ищем наименьшее положительное число $T$, такое что если $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$, то $x+T$ также можно представить в виде $\frac{\pi}{2} + m\pi$ для некоторого $m \in \mathbb{Z}$.

$(\frac{\pi}{2} + k\pi) + T = \frac{\pi}{2} + m\pi$

$T = (\frac{\pi}{2} + m\pi) - (\frac{\pi}{2} + k\pi) = (m-k)\pi$

Поскольку $m$ и $k$ — целые числа, разность $m-k$ является любым целым числом. Обозначим $p = m-k$, где $p \in \mathbb{Z}$. Так как $T \ne 0$, то $p \ne 0$.

Множество всех периодов функции — это $\{p\pi \mid p \in \mathbb{Z}, p \ne 0\}$. Главный (основной) период — это наименьший положительный период. Чтобы найти его, нужно взять наименьшее положительное целое значение $p$, то есть $p=1$.

Таким образом, главный период функции равен $T = 1 \cdot \pi = \pi$.

Ответ: $\pi$

20.10. Докажите, что функция $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin((\sqrt{\mathrm{x}})^2)$ не является периодической.

Для начала определим область определения и упростим вид функции $f(x) = \sin((\sqrt{x})^2)$.

Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений $x$, то есть при $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$.

При $x \ge 0$ справедливо тождество $(\sqrt{x})^2 = x$. Таким образом, на своей области определения функция имеет вид $f(x) = \sin(x)$.

Теперь докажем, что функция $f(x) = \sin(x)$ с областью определения $D(f) = [0, +\infty)$ не является периодической. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что функция $f(x)$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$.

По определению, функция $f(x)$ является периодической с периодом $T$, если для любого $x$ из её области определения выполняются следующие условия:

1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим точку $x=0$. Эта точка принадлежит области определения функции, так как $0 \in [0, +\infty)$.

Согласно первому условию из определения периодической функции, точка $x - T = 0 - T = -T$ также должна принадлежать области определения $D(f)$.

Однако, поскольку период $T$ — это положительное число ($T>0$), то $-T$ является отрицательным числом ($-T < 0$).

Значение $-T$ не принадлежит области определения $[0, +\infty)$. Таким образом, условие 1 не выполняется.

Мы пришли к противоречию с определением периодической функции. Следовательно, наше предположение о том, что функция $f(x)$ является периодической, неверно.

Ответ: Функция $f(x) = \sin((\sqrt{x})^2)$ не является периодической, поскольку её область определения $[0, +\infty)$ не является симметричной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$.

20.11. Докажите, что если функция является возрастающей (убывающей), то она не является периодической.

Для доказательства используем метод от противного. Рассмотрим два случая, упомянутых в условии задачи.

Возрастающая функция

Предположим, что существует функция $f(x)$, которая является одновременно и возрастающей, и периодической.

По определению периодической функции, существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Без ограничения общности будем считать, что $T > 0$. (Если $T < 0$ — период, то и $-T > 0$ также является периодом).

По определению возрастающей функции, для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Возьмем произвольное значение $x$ из области определения функции. Рассмотрим две точки: $x$ и $x+T$. Так как мы выбрали $T > 0$, то справедливо неравенство $x < x+T$.

Поскольку функция $f(x)$ является возрастающей, из $x < x+T$ следует, что $f(x) < f(x+T)$.

Однако, поскольку функция $f(x)$ является периодической, для этих же точек должно выполняться равенство $f(x) = f(x+T)$.

Мы получили противоречие: $f(x) < f(x+T)$ и $f(x) = f(x+T)$ не могут выполняться одновременно. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и возрастающая функция не может быть периодической.

Убывающая функция

Аналогично докажем утверждение для убывающей функции. Предположим, что существует функция $f(x)$, которая является одновременно и убывающей, и периодической.

Из определения периодичности следует, что существует период $T > 0$, для которого $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.

По определению убывающей функции, для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим точки $x$ и $x+T$. Так как $T > 0$, то $x < x+T$.

Поскольку $f(x)$ является убывающей, из $x < x+T$ следует, что $f(x) > f(x+T)$.

Но из свойства периодичности мы имеем $f(x) = f(x+T)$.

Мы снова пришли к противоречию: $f(x) > f(x+T)$ и $f(x) = f(x+T)$ не могут выполняться одновременно. Следовательно, наше предположение неверно, и убывающая функция не может быть периодической.

Таким образом, доказано, что если функция является возрастающей или убывающей, она не является периодической.

Ответ: Утверждение доказано.

20.12. Найдите период функции:

1) $f(x) = \sin \frac{3x}{2} + \operatorname{tg}7x;$

2) $f(x) = \sin 3x + \cos \frac{3x}{4} + \frac{1}{2}\operatorname{tg}\frac{9x}{5};$

3) $f(x) = \sin \pi x - 2\cos \frac{\pi x}{3};$

4) $f(x) = \sin \pi x + \{3x - \frac{1}{2}\}.$

Чтобы найти период функции, которая является суммой или разностью нескольких периодических функций, нужно найти периоды каждой из функций-слагаемых, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Период функции $y = \sin(kx+b)$ или $y=\cos(kx+b)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Период функции $y = \text{tg}(kx+b)$ или $y=\text{ctg}(kx+b)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Период функции $y = \{kx+b\}$ (дробная часть числа) равен $T = \frac{1}{|k|}$.

Для нахождения НОК дробей используется формула: $\text{НОК}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}$.

Дана функция $f(x) = \sin\frac{3x}{2} + \text{tg}7x$.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin\frac{3x}{2}$, коэффициент $k_1 = \frac{3}{2}$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{|k_1|} = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3}$.

Для $f_2(x) = \text{tg}7x$, коэффициент $k_2 = 7$. Период $T_2 = \frac{\pi}{|k_2|} = \frac{\pi}{7}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$:

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{7}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{4}{3}, \frac{1}{7})$.

Используем формулу для НОК дробей:

$\text{НОК}(\frac{4}{3}, \frac{1}{7}) = \frac{\text{НОК}(4, 1)}{\text{НОД}(3, 7)} = \frac{4}{1} = 4$.

Таким образом, общий период $T = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$

Дана функция $f(x) = \sin3x + \cos\frac{3x}{4} + \frac{1}{2}\text{tg}\frac{9x}{5}$.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin3x$, $k_1 = 3$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.

Для $f_2(x) = \cos\frac{3x}{4}$, $k_2 = \frac{3}{4}$. Период $T_2 = \frac{2\pi}{3/4} = \frac{8\pi}{3}$.

Для $f_3(x) = \frac{1}{2}\text{tg}\frac{9x}{5}$, $k_3 = \frac{9}{5}$. Период $T_3 = \frac{\pi}{9/5} = \frac{5\pi}{9}$.

Теперь найдем НОК периодов $T_1, T_2$ и $T_3$:

$T = \text{НОК}(\frac{2\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{5\pi}{9}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{9})$.

$\text{НОК}(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{9}) = \frac{\text{НОК}(2, 8, 5)}{\text{НОД}(3, 3, 9)} = \frac{40}{3}$.

Таким образом, общий период $T = \frac{40\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{40\pi}{3}$

Дана функция $f(x) = \sin\pi x - 2\cos\frac{\pi x}{3}$.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin\pi x$, $k_1 = \pi$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

Для $f_2(x) = -2\cos\frac{\pi x}{3}$, $k_2 = \frac{\pi}{3}$. Период $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$.

Теперь найдем НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$T = \text{НОК}(2, 6) = 6$.

Ответ: 6

Дана функция $f(x) = \sin\pi x + \{3x - \frac{1}{2}\}$, где $\{...\}$ обозначает дробную часть числа.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin\pi x$, $k_1 = \pi$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

Для $f_2(x) = \{3x - \frac{1}{2}\}$, $k_2 = 3$. Период $T_2 = \frac{1}{|k_2|} = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$T = \text{НОК}(2, \frac{1}{3}) = \text{НОК}(\frac{2}{1}, \frac{1}{3})$.

$\text{НОК}(\frac{2}{1}, \frac{1}{3}) = \frac{\text{НОК}(2, 1)}{\text{НОД}(1, 3)} = \frac{2}{1} = 2$.

Таким образом, общий период $T = 2$.

Ответ: 2

20.13. Найдите период функции:

1) $f(x) = \cos x + 2\sin \left(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6}\right);$

2) $f(x) = \cos\frac{5x}{8} + 5\operatorname{tg}\left(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4}\right) - \sin(6x - 3);$

3) $f(x) = 2\sin 5\pi x + \frac{1}{3}\{2x\} - \operatorname{ctg}\frac{13\pi x}{7}.$

1) Функция $f(x) = \cos x + 2\sin(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6})$ является суммой двух периодических функций: $g(x) = \cos x$ и $h(x) = 2\sin(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6})$.

Период функции вида $y=A\cos(kx+b)$ или $y=A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $g(x) = \cos x$, коэффициент $k=1$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Для функции $h(x) = 2\sin(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6})$, коэффициент $k=\frac{3}{5}$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{|\frac{3}{5}|} = \frac{10\pi}{3}$.

Период суммы двух функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Найдем НОК для $T_1 = 2\pi$ и $T_2 = \frac{10\pi}{3}$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \frac{10\pi}{3}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{2}{1}, \frac{10}{3}) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(2, 10)}{\text{НОД}(1, 3)} = \pi \cdot \frac{10}{1} = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.

2) Функция $f(x) = \cos(\frac{5x}{8}) + 5\tg(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4}) - \sin(6x - 3)$ является суммой трех периодических функций: $g(x)=\cos(\frac{5x}{8})$, $h(x)=5\tg(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4})$ и $p(x)=-\sin(6x-3)$.

Найдем периоды каждой из функций. Период для синуса и косинуса $T = \frac{2\pi}{|k|}$, для тангенса $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для $g(x)=\cos(\frac{5x}{8})$, $k=\frac{5}{8}$, период $T_1 = \frac{2\pi}{|5/8|} = \frac{16\pi}{5}$.

Для $h(x)=5\tg(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4})$, $k=\frac{7}{11}$, период $T_2 = \frac{\pi}{|7/11|} = \frac{11\pi}{7}$.

Для $p(x)=-\sin(6x-3)$, $k=6$, период $T_3 = \frac{2\pi}{|6|} = \frac{\pi}{3}$.

Период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$, $T_2$ и $T_3$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3) = \text{НОК}(\frac{16\pi}{5}, \frac{11\pi}{7}, \frac{\pi}{3}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{16}{5}, \frac{11}{7}, \frac{1}{3})$.

$\text{НОК}(\frac{16}{5}, \frac{11}{7}, \frac{1}{3}) = \frac{\text{НОК}(16, 11, 1)}{\text{НОД}(5, 7, 3)} = \frac{176}{1} = 176$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $176\pi$.

Ответ: $176\pi$.

3) Функция $f(x) = 2\sin(5\pi x) + \frac{1}{3}\{2x\} - \ctg(\frac{13\pi x}{7})$ является суммой трех периодических функций: $g(x) = 2\sin(5\pi x)$, $h(x) = \frac{1}{3}\{2x\}$ (где $\{a\}$ - дробная часть числа $a$), и $p(x) = -\ctg(\frac{13\pi x}{7})$.

Найдем периоды каждой из функций.

Для $g(x) = 2\sin(5\pi x)$, коэффициент $k=5\pi$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{|5\pi|} = \frac{2}{5}$.

Для $h(x) = \frac{1}{3}\{2x\}$, период функции $\{kx\}$ равен $\frac{1}{|k|}$. Здесь $k=2$, поэтому период $T_2 = \frac{1}{|2|} = \frac{1}{2}$.

Для $p(x) = -\ctg(\frac{13\pi x}{7})$, коэффициент $k=\frac{13\pi}{7}$. Период котангенса $T = \frac{\pi}{|k|}$, поэтому $T_3 = \frac{\pi}{|13\pi/7|} = \frac{7}{13}$.

Период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$, $T_2$ и $T_3$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3) = \text{НОК}(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{7}{13})$.

$\text{НОК}(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{7}{13}) = \frac{\text{НОК}(2, 1, 7)}{\text{НОД}(5, 2, 13)} = \frac{14}{1} = 14$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен 14.

Ответ: $14$.