Номер 20.7, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.7. Докажите, что число $\pi$ является периодом функции $y=\sqrt{-\sin^2 x}$.

Чтобы доказать, что число $T = \pi$ является периодом функции $f(x) = \sqrt{-\sin^2 x}$, необходимо проверить выполнение двух условий для любого $x$ из области определения функции $D(f)$:
1) Число $(x + T)$ также должно принадлежать области определения.
2) Должно выполняться равенство $f(x + T) = f(x)$.

Шаг 1: Нахождение области определения функции

Функция $y = \sqrt{-\sin^2 x}$ определена только в том случае, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $$-\sin^2 x \ge 0$$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $$\sin^2 x \le 0$$

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $\sin^2 x \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, неравенство $\sin^2 x \le 0$ может выполняться только в одном случае — когда $\sin^2 x$ равно нулю: $$\sin^2 x = 0$$

Это уравнение эквивалентно следующему: $$\sin x = 0$$

Решениями данного тригонометрического уравнения являются значения: $$x = k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \text{ (множество целых чисел)}$$

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это дискретное множество точек $\{ \dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \}$.

Шаг 2: Проверка условий периодичности для $T = \pi$

Возьмем произвольное значение $x$ из области определения $D(f)$. Это означает, что $x$ имеет вид $x = k\pi$ для некоторого целого числа $k$.

Проверка первого условия:
Проверим, принадлежит ли точка $(x + \pi)$ области определения функции. $$x + \pi = k\pi + \pi = (k+1)\pi$$
Поскольку $k$ — целое число, то и $(k+1)$ также является целым числом. Следовательно, точка $(x+\pi)$ имеет вид $n\pi$ (где $n=k+1$), а значит, принадлежит области определения $D(f)$. Первое условие выполнено.

Проверка второго условия:
Проверим, выполняется ли равенство $f(x+\pi) = f(x)$.
Сначала найдем значение функции $f(x)$ для любого $x$ из ее области определения. Так как для $x = k\pi$ значение $\sin x = 0$, то: $$f(x) = \sqrt{-\sin^2 x} = \sqrt{-0^2} = 0$$
Теперь найдем значение функции в точке $(x+\pi)$. Мы уже показали, что эта точка принадлежит области определения, следовательно, $\sin(x+\pi) = \sin(k\pi+\pi) = 0$. $$f(x+\pi) = \sqrt{-\sin^2(x+\pi)} = \sqrt{-0^2} = 0$$
Таким образом, мы видим, что $f(x+\pi) = 0$ и $f(x) = 0$, из чего следует равенство $f(x+\pi) = f(x)$. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия из определения периода функции выполняются для $T=\pi$, число $\pi$ является периодом функции $y = \sqrt{-\sin^2 x}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.