Номер 20.8, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.8. Найдите главный период функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\cos^2 x}}$.

Для нахождения главного периода функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\cos^2 x}}$ сначала определим её область определения. Функция определена, когда выражение под корнем неотрицательно, а знаменатель не равен нулю.

1. Условие на знаменатель: $\cos^2 x \neq 0$, что эквивалентно $\cos x \neq 0$.

2. Условие на подкоренное выражение: $1 - \frac{1}{\cos^2 x} \ge 0$.

Упростим подкоренное выражение, приведя его к общему знаменателю:$1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$, получаем:$\frac{-\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tan^2 x$.

Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде $f(x) = \sqrt{-\tan^2 x}$.

Теперь условие неотрицательности подкоренного выражения принимает вид:$-\tan^2 x \ge 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $\tan^2 x \ge 0$ для всех $x$ из области определения тангенса. Следовательно, выражение $-\tan^2 x$ всегда неположительно ($-\tan^2 x \le 0$).

Неравенство $-\tan^2 x \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда обе части равны нулю.$-\tan^2 x = 0 \implies \tan x = 0$.

Решениями уравнения $\tan x = 0$ являются значения $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).Для этих значений $x$ косинус равен $\cos(n\pi) = \pm 1$, что удовлетворяет условию $\cos x \neq 0$.

Итак, область определения функции $D(f)$ — это дискретное множество точек $D(f) = \{ n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \}$. В каждой точке из области определения значение функции равно:$f(n\pi) = \sqrt{-\tan^2(n\pi)} = \sqrt{-0} = 0$.

Теперь найдем главный период. Число $T > 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ значение $x+T$ также принадлежит $D(f)$ и $f(x+T) = f(x)$. Поскольку $f(x) = 0$ для всех $x \in D(f)$, условие $f(x+T) = f(x)$ (то есть $0=0$) выполняется автоматически для любого $T$, удовлетворяющего первому условию.

Нам нужно найти наименьшее положительное число $T$ такое, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$. Пусть $x = n\pi$ для некоторого целого $n$. Тогда $x+T$ должно быть равно $m\pi$ для некоторого целого $m$.$n\pi + T = m\pi \implies T = m\pi - n\pi = (m-n)\pi$.

Так как $T>0$, разность $(m-n)$ должна быть положительным целым числом. Наименьшее положительное целое число — это 1. Следовательно, наименьший положительный период (главный период) функции соответствует $m-n=1$, то есть $T = \pi$.

Ответ: $\pi$.