Номер 20.13, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.13. Найдите период функции:

1) $f(x) = \cos x + 2\sin \left(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6}\right);$

2) $f(x) = \cos\frac{5x}{8} + 5\operatorname{tg}\left(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4}\right) - \sin(6x - 3);$

3) $f(x) = 2\sin 5\pi x + \frac{1}{3}\{2x\} - \operatorname{ctg}\frac{13\pi x}{7}.$

1) Функция $f(x) = \cos x + 2\sin(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6})$ является суммой двух периодических функций: $g(x) = \cos x$ и $h(x) = 2\sin(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6})$.

Период функции вида $y=A\cos(kx+b)$ или $y=A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $g(x) = \cos x$, коэффициент $k=1$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Для функции $h(x) = 2\sin(\frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6})$, коэффициент $k=\frac{3}{5}$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{|\frac{3}{5}|} = \frac{10\pi}{3}$.

Период суммы двух функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Найдем НОК для $T_1 = 2\pi$ и $T_2 = \frac{10\pi}{3}$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \frac{10\pi}{3}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{2}{1}, \frac{10}{3}) = \pi \cdot \frac{\text{НОК}(2, 10)}{\text{НОД}(1, 3)} = \pi \cdot \frac{10}{1} = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.

2) Функция $f(x) = \cos(\frac{5x}{8}) + 5\tg(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4}) - \sin(6x - 3)$ является суммой трех периодических функций: $g(x)=\cos(\frac{5x}{8})$, $h(x)=5\tg(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4})$ и $p(x)=-\sin(6x-3)$.

Найдем периоды каждой из функций. Период для синуса и косинуса $T = \frac{2\pi}{|k|}$, для тангенса $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для $g(x)=\cos(\frac{5x}{8})$, $k=\frac{5}{8}$, период $T_1 = \frac{2\pi}{|5/8|} = \frac{16\pi}{5}$.

Для $h(x)=5\tg(\frac{7x}{11} - \frac{\pi}{4})$, $k=\frac{7}{11}$, период $T_2 = \frac{\pi}{|7/11|} = \frac{11\pi}{7}$.

Для $p(x)=-\sin(6x-3)$, $k=6$, период $T_3 = \frac{2\pi}{|6|} = \frac{\pi}{3}$.

Период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$, $T_2$ и $T_3$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3) = \text{НОК}(\frac{16\pi}{5}, \frac{11\pi}{7}, \frac{\pi}{3}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{16}{5}, \frac{11}{7}, \frac{1}{3})$.

$\text{НОК}(\frac{16}{5}, \frac{11}{7}, \frac{1}{3}) = \frac{\text{НОК}(16, 11, 1)}{\text{НОД}(5, 7, 3)} = \frac{176}{1} = 176$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен $176\pi$.

Ответ: $176\pi$.

3) Функция $f(x) = 2\sin(5\pi x) + \frac{1}{3}\{2x\} - \ctg(\frac{13\pi x}{7})$ является суммой трех периодических функций: $g(x) = 2\sin(5\pi x)$, $h(x) = \frac{1}{3}\{2x\}$ (где $\{a\}$ - дробная часть числа $a$), и $p(x) = -\ctg(\frac{13\pi x}{7})$.

Найдем периоды каждой из функций.

Для $g(x) = 2\sin(5\pi x)$, коэффициент $k=5\pi$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{|5\pi|} = \frac{2}{5}$.

Для $h(x) = \frac{1}{3}\{2x\}$, период функции $\{kx\}$ равен $\frac{1}{|k|}$. Здесь $k=2$, поэтому период $T_2 = \frac{1}{|2|} = \frac{1}{2}$.

Для $p(x) = -\ctg(\frac{13\pi x}{7})$, коэффициент $k=\frac{13\pi}{7}$. Период котангенса $T = \frac{\pi}{|k|}$, поэтому $T_3 = \frac{\pi}{|13\pi/7|} = \frac{7}{13}$.

Период функции $f(x)$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$, $T_2$ и $T_3$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3) = \text{НОК}(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{7}{13})$.

$\text{НОК}(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{7}{13}) = \frac{\text{НОК}(2, 1, 7)}{\text{НОД}(5, 2, 13)} = \frac{14}{1} = 14$.

Таким образом, период функции $f(x)$ равен 14.

Ответ: $14$.