Номер 20.20, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.20. Существует ли функция, для которой каждое иррациональное число является её периодом, однако не существует рационального числа, которое было бы её периодом?

Предположим, что такая функция $f(x)$ существует. Это означает, что выполняются два условия:

1. Для любого иррационального числа $T$ и для любого $x$ из области определения функции, $f(x+T) = f(x)$.
2. Для любого ненулевого рационального числа $q$ неверно, что $f(x+q) = f(x)$ для всех $x$ (т.е. ни одно ненулевое рациональное число не является периодом).

Докажем, что если функция удовлетворяет первому условию, то она обязательно является постоянной (константой). Для этого достаточно показать, что для любых двух чисел $a$ и $b$ из её области определения выполняется равенство $f(a) = f(b)$.

Рассмотрим разность этих двух чисел: $d = b - a$. Эта разность может быть либо иррациональным числом, либо рациональным.

Случай 1: разность $d = b-a$ является иррациональным числом.
По первому условию задачи, любое иррациональное число является периодом функции $f(x)$. Следовательно, $d$ — это период. По определению периода, для любого $x$ должно выполняться $f(x+d) = f(x)$. Взяв $x=a$, получаем $f(a+d) = f(a)$. Поскольку $a+d = a + (b-a) = b$, это равенство можно переписать как $f(b) = f(a)$.

Случай 2: разность $d = b-a$ является рациональным числом.
Выберем произвольное иррациональное число, например $T = \sqrt{2}$. Согласно первому условию, $T$ является периодом функции $f(x)$. Это означает, что $f(a) = f(a+T)$.
Теперь рассмотрим два числа: $b$ и $a+T$. Найдем их разность: $b - (a+T) = (b-a) - T = d - T$. Так как $d$ — рациональное число, а $T$ — иррациональное, их разность $d-T$ также является иррациональным числом.
Применяя результат, полученный в Случае 1, к паре чисел $b$ и $a+T$ (разность между которыми иррациональна), мы можем заключить, что значения функции в этих точках равны: $f(b) = f(a+T)$.
Итак, мы получили два равенства: $f(a) = f(a+T)$ и $f(b) = f(a+T)$. Из них следует, что $f(a) = f(b)$.

Мы показали, что в обоих случаях ($d$ иррационально и $d$ рационально) для любых $a$ и $b$ выполняется равенство $f(a)=f(b)$. Это означает, что функция $f(x)$ принимает одно и то же значение для всех аргументов, то есть является постоянной функцией. Пусть $f(x) = C$ для некоторой константы $C$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли постоянная функция $f(x)=C$ второму условию задачи. Второе условие требует, чтобы ни одно рациональное число не было периодом функции. Возьмем любое ненулевое рациональное число $q$, например $q=1$. По определению, $q$ будет периодом, если $f(x+q) = f(x)$ для всех $x$. Для функции $f(x)=C$ имеем $f(x+1) = C$ и $f(x)=C$. Равенство $C=C$ истинно, следовательно, $q=1$ является периодом. Аналогично, любое ненулевое рациональное число является периодом постоянной функции.

Это прямо противоречит второму условию задачи. Противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о существовании такой функции было неверным.

Ответ: нет, такой функции не существует.